Longitud de Arco y Teorema Fundamental del Cálculo

Para calcular la longitud del arco de una curva definida por \(f(x)\) entre un punto \(a\) y un punto \(b\), simplemente tenemos que usar la fórmula:

\[c=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} d x\]

O

\[c=\int_{c}^{d} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(y)\right]^{2}} d y\]

¿Y qué sucede cuando tenemos una función \(f(x)\) definida como \(f(x)=\int_{a}^{x} g(t) d t\), donde \(a\) es cualquier constante?

¿Cómo calculamos \(f^{\prime}(x)\)? Usando el Teorema Fundamental del Cálculo

\[f^{\prime}(x)=g(x)\]

\[c=\int_{a}^{b} \sqrt{1+[g(x)]^{2}} d x\]

Recuerden que si en lugar de \(f(x)=\int_{a}^{x} g(t) d t\) tenemos \(f(x)=\int_{a}^{u(x)} g(t) d t\), debemos usar la regla de la cadena para calcular \(f^{\prime}(x)\):

\[f^{\prime}(x)=g(u(x)) \cdot u^{\prime}(x)\]

Ejemplo: encuentre la longitud del arco de la curva a continuación:

\[f(x)=\int_{a}^{x} \sqrt{t g^{2} t+2 t g t} d t, \quad 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}\]

\[c=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} d x\]

Por el Teorema Fundamental del Cálculo - Parte 1:

\[f^{\prime}(x)=\sqrt{\operatorname{tg}^{2} x+2 \operatorname{tg} x}\]

\[c=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1+[\sqrt{\operatorname{tg}^{2} x+2 \operatorname{tg} x}]^{2}} d x\]

\[c=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{(\operatorname{tg} x+1)^{2}} d x\]

\[c=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(\operatorname{tg} x+1) d x\]

\[c=[\ln |\sec x|+x]_{0}^{\frac{\pi}{3}}\]

\[c=\left[\left(\ln (2)+\frac{\pi}{3}\right)-(\ln 1+0)\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}\]

\[c=\ln 2+\frac{\pi}{3} u \cdot c\]