Longitud de Arco

En este segmento vamos a responder la siguiente pregunta: ¿cómo podemos encontrar la longitud de una recta? Veamos un simple ejemplo:

Si, por ejemplo, queremos calcular la longitud de esta recta entre los puntos grises, \((0,3)\) y \((-4,0)\), podemos tomar la base y la altura de los puntos y usar Pitágoras:

\[\Delta x=0-(-4)=4\]

\[\Delta y=3-0=3\]

Por lo tanto, la longitud de la recta, que llamaremos \(c\), será:

\[c=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=5\]

Ahora, cuando no tenemos una recta, el problema se complica porque no podemos usar Pitágoras.

¿Qué podemos hacer para encontrar la longitud de cualquier curva \(f(x)\) en cualquier intervalo \((a, b)\)?

Vamos a aproximar la curva a una recta. ¿Cómo vamos a hacer eso? Fácil! Vamos a tomar un intervalo muy pequeño, de modo que la curva sea lo más parecida a una recta.

Para estos intervalos muy pequeños, podemos considerar:

\[\Delta x \rightarrow d x \quad \Delta y \rightarrow d y\]

Dado que tenemos prácticamente una recta, podemos usar Pitágoras nuevamente para este pequeño intervalo. Llamándolo \(d c\):

\(c=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} \Longrightarrow d c=\sqrt{(d x)^{2}+(d y)^{2}}\)

Ahora vamos a sacar \((d x)^{2}\) de la raíz:

\[d c=\sqrt{\left(d x^{2}\right)\left(1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right)}=\sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x\]

\(d y / d x\) es una forma de escribir la derivada de una función, por lo que podemos sustituirlo por \(f^{\prime}(x)\), obteniendo:

\[d c=\sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} d x\]

Ahora, para encontrar la longitud total en el intervalo \((a, b)\), solo integre:

\[c=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} d x\]

Sólo deben recordar una cosa: esta fórmula sólo es aplicable si \(f^{\prime}(x)\) es continua en \([a, b]\).

A veces es más fácil calcular la integral haciendo \(x=f(y)\). En este caso, la fórmula se ve así:

\[c=\int_{c}^{d} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(y)\right]^{2}} d y\]

Básicamente es lo mismo, salvo que en lugar de \(x\) tenemos \(y\).

Siendo \(c\) y \(d\) estos límites para \(y\), con \(f^{\prime}(y)\) continua en \([c, d]\).

¡Y eso es todo!

Practiquemos esto calculando la longitud del arco de la siguiente curva

\[f(x)=\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}, \quad 0 \leq x \leq 3\]

Observen que al decirnos entre qué valores varía \(x\) nos están diciendo \(a=0\) y \(b=3\).

Recuerden además que primero deben hallar la derivada de \(f(x)\) para poder usar la fórmula.

Aplicando la fórmula:

\[c=\int_{0}^{3} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} d x=\int_{0}^{3} \sqrt{1+[\sqrt{x}]^{2}} d x\]

\[c=\int_{0}^{3} \sqrt{1+x} d x=\left.\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}\right|_{0} ^{3}\]

\[c=\left[\frac{2}{3} 4^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\right]=\frac{14}{3}\]

Función de la Longitud de Arco

¿Qué pasaría si hubiera una función que calcule, para cada \(x\) una longitud de arco? ¡Sí, existe! Es la función de longitud de arco, cuya fórmula es:

\[s(x)=\int_{a}^{x} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(t)\right]^{2}} d t\]

Ejemplo: Encuentre la función de longitud de arco de \(f(x)=x^{2}-\frac{1}{8} \ln x\) donde \(P(1,1)\) es el punto inicial de la curva.

     \(1.\) Escribimos la fórmula:

\[s(x)=\int_{a}^{x} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(t)\right]^{2}} d t\]

     \(2.\) Pasamos de la variable \(x\) a la variable \(t\) y calculamos la derivada:

\[f(t)=t^{2}-\frac{1}{8} \ln t\]

\[f^{\prime}(t)=2 t-\frac{1}{8} \frac{1}{t}\]

     \(3.\) Aplicamos la fórmula:

\[s(x)=\int_{1}^{x} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(t)\right]^{2}} d t\]

\[s(x)=\int_{1}^{x} \sqrt{1+\left[2 t-\frac{1}{8} \frac{1}{t}\right]^{2}} d t\]

\[s(x)=\int_{1}^{x} \sqrt{1+4 t^{2}-2 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{t} \cdot 2 t+\frac{1}{64 t^{2}}} d t\]

\[s(x)=\int_{1}^{x} \sqrt{1+4 t^{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{64 t^{2}}} d t\]

\[s(x)=\int_{1}^{x} \sqrt{\frac{1}{2}+4 t^{2}+\frac{1}{64 t^{2}}} d t\]

\[s(x)=\int_{1}^{x} \sqrt{\left(2 t+\frac{1}{8 t}\right)^{2}} d t\]

\[s(x)=\int_{1}^{x}\left(2 t+\frac{1}{8 t}\right) d t\]

\[s(x)=\left[t^{2}+\frac{1}{8} \ln |t|\right]_{1}^{x}\]

\[s(x)=\left[x^{2}+\frac{1}{8} \ln |x|-1+\frac{1}{8} \ln 1\right]\]

\[s(x)=x^{2}+\frac{1}{8} \ln |x|-1\]

Esta es la función de longitud de arco solicitada en el enunciado. Con esta podemos calcular cualquier longitud de arco dado un valor de \(x\).

¡Así que lo que resta es practicar! ¡Suerte!