Bombeo

Ahora veremos cómo usar integrales para calcular otro tipo de trabajo: el trabajo requerido para bombear líquido para un recipiente.

Definición

Para calcular el trabajo requerido para calcular todo o parte de un líquido de un recipiente, podemos imaginar que en cada instante se eleva una rebanada infinitesimal de líquido. En este caso, tal como lo hicimos antes, escribimos una expresión para el trabajo en su forma infinitesimal y luego integramos:

\[W=\int_{a}^{b} F(x) d x\]

La fuerza se hace en el eje que podemos establecer como eje \(x\). Entonces necesitamos encontrar una expresión para \(F\) que solo dependa de \(x\). \(x\) será la variable de integración. Todas las demás variables deben ser constantes. No podemos tener dos variables de integración diferentes para estos ejercicios.

Básicamente, para bombear un líquido fuera de un recipiente a una velocidad constante, la fuerza que se debe hacer es equivalente al peso del líquido que será bombeado para fuera del recipiente, que depende del volumen de líquido que será bombeado y de su densidad. Entonces, necesitamos encontrar una relación para el volumen que deje la expresión para el volumen únicamente en la variable de integración deseada.

Veamos esto con un ejemplo:

Ejemplo: el tanque en la figura a continuación se llena hasta \(2 m\) desde la parte superior con un líquido cuya densidad es de \(\frac{57 h i g}{m^{3}}\). ¿Cuál es el trabajo realizado para bombear el líquido hasta el borde del tanque a \(10 m\) de altura?

Bueno, considerando que la fuerza realizada es suficiente para bombear el líquido a una velocidad constante, es decir, igual a su peso, tenemos:

\[F=P_{\text {líquido}}\]

La fuerza se realiza a lo largo del eje \(y\) y la distancia en la que ella tira del líquido es de \((10-y)\), ¿están de acuerdo? Esta es la distancia en la que actúa la fuerza. Entonces podemos escribir:

\[d W=d F(10-y)\]

En este caso, tenemos que encontrar una expresión para \(F\) en función de \(y\), nuestra variable de integración. El peso del líquido es:

\[P_{\text {líquido}}=\rho_{\text {líquido}} g V_{\text {líquido}}\]

Ahora, observa que el volumen varía a lo largo del eje \(y\) debido a que el área de la sección transversal cambia gradualmente. La forma de resolver esto es escribir el volumen en su forma infinitesimal. Para eso, pensemos en cada rebanada infinitesimal de líquido. En este caso, tenemos:

\[d F=d P=\rho g d V\]

\[d V=\pi(r a d i o)^{2} d y\]

El radio equivale al valor de \(x\) para cada segmento infinitesimal, por lo que podemos escribir:

\[d V=\pi(x)^{2} d y\]

La relación entre \(x\) y \(y\) se da en la figura: \(x=\frac{1}{2} y\), por lo que podemos escribir:

\[d V=\pi\left(\frac{1}{2} y\right)^{2} d y\]

\[d V=\frac{\pi}{4} y^{2} d y\]

Sabemos que

\[d F=d P=\rho g d V\]

Por lo tanto, en función de \(y\):

\[d F=\rho g d V\]

\[d F=\rho g \frac{\pi}{4} y^{2} d y\]

Sabiendo que:

\[d W=d F(10-y)\]

\[W=\int(10-y) d F\]

Sustituyendo:

\[W=\int_{0}^{8}(10-y) \rho g \frac{\pi}{4} y^{2} d y\]

¡Listo! Ahora todo dentro de la integral es una función de \(y\), nuestra variable de integración. Todo lo demás es constante.

\[W=\rho g \frac{\pi}{4} \int_{0}^{8}(10-y) y^{2} d y\]

\[W=\rho g \frac{\pi}{4} \int_{0}^{8}\left(10 y^{2}-y^{3}\right) d y\]

\[W=\rho g \frac{\pi}{4}\left[10 \frac{y^{3}}{3}-\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{8}\]

\[W=57.10 \frac{\pi}{4}\left[\left(10 \frac{512}{3}-\frac{4096}{4}\right)-0\right]\]

\[W \cong 305615 J\]

La solución de estos problemas está en escribir todo en la variable a integrar. Una vez que hicieron esto, sólo resta resolver la integración.