Cálculo de Volúmenes mediante Secciones Transversales

Ya hemos visto cómo calcular los volúmenes de sólidos de revolución. Parece que hemos visto todo sobre volúmenes, pero hay una infinidad de otros tipos de sólidos que no son necesariamente sólidos de revolución. Observemos:

 

 

Pensemos en que queremos hacer una torta de forma piramidal como la de la figura:

 

 

Eso mismo, una pirámide de base cuadrada, que ciertamente no es un sólido de revolución. Ahora queremos comer un pequeño pedazo. Pero un pedazo realmente pequeño. Entonces, decidimos hacer un corte paralelo a la base y tomamos la siguiente rebanada:

 

 

¡Este pedazo es muy pequeño! Es tan pequeño que parece un prisma de base cuadrada de altura infinitesimal \(dz\). Si queremos calcular el volumen que  tomamos, simplemente tendremos que hacer:

 

 

\[d V=A d z\]

 

¡Pero seguimos con hambre! Por lo que decidimos cortar otro pedazo:

 

 

Claramente es un pedazo más pequeño. Esto es así porque al subir, el área se va achicando. Cortemos, entonces, el pedazo más grande, que sería la base:

 

 

¿Ven lo que pasó? Dependiendo de la altura \(z\), el área de la base del prisma cambiará. Ahora esto significa que \(A\) es una función de \(z\). Representamos esto de la siguiente manera:

 

\[A=A(z)\]

 

Y entonces el volumen del pedazo es:

 

\[d V=A(z) d z\]

 

¿Por qué no comer el pastel entero? Si sumamos los infinitos pequeños volúmenes de los pedazos, encontramos todo el volumen del pastel, ¿no? Entonces:

 

\[V=\sum d V\]

 

Dado que la integral se puede interpretar como una suma de unidades infinitas, este resultado se puede escribir como:

 

\[V=\int A(z) d z\]

 

Pero no podemos usar integrales indefinidas, porque el pastel tiene que tener un volumen definido ¿verdad? Como esto es así, habrá un intervalo a lo largo del eje z en el que el sólido está definido. Así que terminamos agregando los límites de integración:

 

\[V=\int_{a}^{b} A(z) d z\]

 

¡Y ese es el método de cálculo de volúmenes por secciones transversales! El truco será encontrar la expresión de \(A=A(z)\), que varía con cada problema, y ​​encontrar los límites de la integración. 

 

Otros ejemplos pueden tener el área variando con otros ejes, así que tengan cuidado al montar la función del área, ¿ok? Bueno, como estamos hablando del área de la sección transversal, intentemos encontrar \(A(z)\). Mire la imagen de la base de la pirámide:

 

 

Como todo buen cuadrado, el área de la base será:

 

\[A=L^{2}\]

 

Por convención, usaremos letras mayúsculas para representar la base y letras minúsculas para representar la sección transversal, ¿de acuerdo? Dado que la sección transversal también tiene un área cuadrada, para cualquier corte hecho a una altura \(z\), el área de la sección transversal será:

 

\(A=l^{2}\)

 

(tengan en cuenta que es una “L” minúscula, porque hablamos de secciones transversales)

 

Ahora echen un vistazo a cómo se ve nuestro pastel si ponemos algunas líneas en él:

 

 

Tenemos un eje bien definido \(Z\), del que depende el área de la sección transversal. Pero esperen, ¿no acabamos de escribir \(A\) en función de \(l\)? Bueno, como queremos \(A=A(z)\) para poder integrar, ¡solo tenemos que escribir \(l\) en función de \(z\) y reemplazarlo en la fórmula del área! Para eso, podemos hacer una semejanza de triángulos:

 

 

Tendremos:

 

\[\frac{\frac{l \sqrt{2}}{2}}{\frac{L \sqrt{2}}{2}}=\frac{z}{H}\]

 

Y luego:

 

\[l=\frac{z \cdot L}{H}\]

 

Empecemos ahora por poner valores a las letras, así podemos resolver un ejercicio de ejemplo: tomemos a la altura \(H\) del pastel y el lado de la base \(L\) iguales a \(2 m\). Así:

 

\[l=z\]

 

\[A=l^{2}=z^{2}\]

 

El volumen de la pirámide será:

 

\[V=\int_{a}^{b} A(z) d z=\int_{0}^{H} A(z) d z=\int_{0}^{2} z^{2} d z\]

 

\[V=\left.\frac{z^{3}}{3}\right|_{z=0} ^{z=2}=\frac{2^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}\]

 

\[V=\frac{8}{3}\]

 

Excelente. Solo para fines comparativos, tenga en cuenta que la fórmula directa, sin usar Cálculo, para el volumen de una pirámide es:

 

\[V=\frac{1}{3} \bullet A \bullet H\]

 

Y cómo:

 

\[A=L^{2}=2^{2}=4\]

 

\[H=2\]

 

El volumen es:

 

\[V=\frac{1}{3} \bullet 4 \bullet 2\]

 

\[V=\frac{8}{3}\]

 

Finalmente, hagamos un paso a paso para que puedan ver cómo se resuelven los ejercicios:

 

     \(1.\) Elijan un eje para hacer los cortes de las secciones transversales. Ej: eje \(X\)

 

     \(2.\) Identifiquen la geometría de la sección transversal y encuentre su área. Ej: \(A\)

 

     \(3.\) Relacionen variables de la fórmula del área de sección transversal con el eje elegido. Ej: \(A=A(x)\)

 

     \(4.\) Encuentren en el eje elegido los valores en los que se define el sólido, es decir, encuentre los límites de integración. Ej: \(a\), \(b\)

 

     \(5.\) Integren: \(V=\int_{a}^{b} A(x) d x\) 

 

¡Y eso es todo amigos, vamos a los ejercicios!

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