Trabajo de una Fuerza
Hasta ahora vimos que las integrales se utilizan para calcular áreas y volúmenes. Pero además, también podemos usarlas para calcular fenómenos físicos. Veamos ahora cómo aplicar integrales para calcular el trabajo realizado por una fuerza.
Definición
Por definición, el trabajo realizado por una fuerza se llama \(W\) y se define como la fuerza multiplicada por la distancia en la que actúa la fuerza.
\[W=F \times d\]
\[\text {Donde F=fuerza; d=distancia}\]
Cuando la fuerza es constante a lo largo de la distancia basta con hacer la multiplicación y listo.
Lo que pasa es que no siempre la fuerza es constante a lo largo de la distancia, lo que dificulta el cálculo del trabajo. En tales casos, tomaremos intervalos infinitesimales donde podemos considerar a la fuerza como constante. Entonces escribo esta expresión en su forma infinitesimal. Así:
\[d W=F d x\]
Entonces, en los problemas en los que quiero calcular el trabajo realizado por una fuerza variable en la dirección del eje \(x\), necesito saber la expresión de \(F\) como una función de \(x\), lo que nos permite escribir esta función en su forma integrada:
\[W=\int_{a}^{b} F(x) d x\]
También es necesario conocer los puntos inicial y final para determinar los límites de integración. La integral puede volverse más fácil o más difícil dependiendo de la expresión de \(F(x)\). Hagamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1 - Resorte
Determinen el trabajo necesario para estirar un resorte comenzando desde su longitud inicial de \(1 m\) hasta una longitud de \(2 m\) más allá de su longitud original si la constante del resorte es \(K=30 \frac{N}{m}\).
Como dijimos antes, para calcular el trabajo realizado por una fuerza que varía en el eje \(x\) necesitamos conocer su expresión (en función de \(x\)). En el enunciado tenemos una fuerza elástica, es decir, la fuerza para comprimir un resorte. De la Ley de Hooke, sabemos que la fuerza para comprimir o estirar un resorte de largo \(x\) se puede definir como \(F=K x\), donde \(K\) se llama constante del resorte.
Por lo tanto, podemos sustituir la expresión de la Ley de Hooke para calcular el trabajo de esta fuerza.
Y los límites de integración, como dijimos antes, dependen de los valores iniciales y finales del problema. Para esto vamos a tener que estipular un sistema de coordenadas. Este lo eligen ustedes, lo único que tienen que tener en cuenta es que tienen que ser coherentes con el.
Podemos pensar en el resorte no comprimido. Si establecemos que el origen del eje \(x\) es de la siguiente forma:
El límite inferior será \(0\) y el límite superior \(2 m\), ya que el problema quiere que el resorte se estire \(2 m\) MÁS ALLÁ de su longitud original. \(2 m\) no es la longitud final del resorte, por lo que la fuerza actúa durante \(2 m\).
\[W=\int_{0}^{2} K x d x\]
\[W=\frac{K x^{2}}{2} \begin{array}{l}{2} \\ {1}\end{array}\]
\[W=30\left[\frac{(2)^{2}}{2}-0\right]\]
\[W=60 J\]
Ejemplo 2 - Levantar un cuerpo
¿Qué trabajo se ha hecho para levantar un balde que pesa \(5 N\) del suelo a velocidad constante con una cuerda de \(20 m\) de longitud sabiendo que la cuerda pesa \(0.08 \frac{k g}{m}\)?
Bueno, si queremos el trabajo de una fuerza en una dirección dada, tenemos que establecer la función con la que se ejerce esa fuerza en esa dirección dada.
Entonces, el primer punto es establecer qué fuerza se hizo en ese caso. Bueno, en la declaración hay una trampa. Observe que la declaración dice que el cubo fue levantado a velocidad constante. Según la primera Ley de Newton, sabemos que un cuerpo tiene velocidad constante cuando la suma de las fuerzas que actúan sobre él es nula.
Bueno, tenemos que pensar que en este caso el enunciado pide el trabajo para levantar el cubo, solo que le dio la masa de la cuerda, lo que significa que esa masa no es insignificante. Por lo tanto, el trabajo realmente realizado es el trabajo requerido para levantar el sistema de balde + cuerda. ¿Qué fuerzas actúan sobre el sistema balde + cuerda?
\(\bullet\) Peso del balde
\(\bullet\) Peso de la cuerda
\(\bullet\) Fuerza para levantar
Si el sistema se eleva a velocidad constante, sabemos que la fuerza de elevación debe ser igual a la suma de la fuerza del peso del balde + la fuerza del peso de la cuerda.
Sabemos que la fuerza del peso se define como:
\[P= \text { masa} \times \text {aceleración de la gravedad}\]
\[P_{b a l d e}=m_{b a l d e} g\]
El peso del balde es constante y ya se da en el enunciado: \((5 N)\). Pero el peso de la cuerda se da en función de su longitud. A medida que se tira de la cuerda, una parte cada vez más pequeña de ésta hace peso. Si establecemos el siguiente sistema de coordenadas:
Entonces podemos escribir:
\[P_{\text {cuerda }}=0.08(20-x)\]
Eso se debe a que cada metro de cuerda tiene \(0.08 \mathrm{kg}\). Entonces, a medida que se tira de la cuerda, la longitud restante de la cuerda es \((20-x)\).
Por lo tanto, la fuerza \(F\) es equivalente a:
\[F=P_{b a l d e}+P_{c u e r d a}\]
\[F=5+0,08(20-x)\]
La fuerza \(F\) actúa durante \(20 m\). Considerando el sistema de coordenadas que establecimos:
\[W=\int_{0}^{20} 5+0,08(20-x) d x\]
Considerando \(g=10 \frac{m}{s^{2}}\)
\[W=\int_{0}^{20} 5+0,08(20-x) d x\]
\[W=\int_{0}^{20}(5+1,6-0,08 x) d x\]
\[W=\left(6,6 x-0,08 \frac{x^{2}}{2}\right)_{0}^{20}\]
\[W=132-0,04(20)^{2}\]
\[W=116 N\]
Ejemplo 3 - Tirar de un cuerpo
Un caballo tira de un carro a lo largo de una carretera recta, ejerciendo una fuerza variable en el tiempo: \(F(t)=3+\operatorname{sen}(t) N\). El carro se mueve a una velocidad constante de \(7 m / s\). Encuentren el trabajo realizado por el caballo en los primeros 30 segundos.
Bueno, ya sabemos que la expresión para el trabajo realizado por una fuerza es igual a
\[W=\int_{a}^{b} F(x) d x\]
Para eso, necesitamos encontrar una expresión para \(F(x)\). Pero el enunciado nos dio una expresión para \(F\) con respecto al tiempo, mientras que nosotros sabemos trabajar con una que esté en función de la distancia.
Pero la velocidad \(v\) del desplazamiento a lo largo del eje \(x\) se puede escribir en función del tiempo \(t\) como:
\[v=\frac{d x}{d t} \rightarrow d x=v d t\]
Entonces, reescribimos la expresión del trabajo como:
\[W=\int_{a}^{b} F(t) v d t\]
\(v\) es constante e igual a \(\frac{7 m}{s}\) y queremos el trabajo en los primeros 30 segundos. Entonces tenemos:
\[W=\int_{0}^{30}(3+\operatorname{sen}(t)) 7 d t\]
\[W=\int_{0}^{30}(21+7 \operatorname{sen}(t)) d t\]
\[W=(21 t-7 \cos t) \begin{array}{l}{30} \\ {0}\end{array}\]
Y luego:
\[W=(21(30)-7 \cos (30))-(0-7 \cos (0))=7(91-\cos (30))\]
Observación: en este caso, si la velocidad fuera variable y tuviéramos una expresión de \(v\) en función de \(t\), lo único que cambiaría es que ella también se tendría en cuenta en la integración. Por ejemplo, si tuviéramos que \(v(t)=3+t\) y quisiéramos trabajar en los primeros 5 minutos:
\[W=\int_{0}^{300}(3+\operatorname{sen}(t))(3+t) d t\]
La clave de la resolución de problemas donde el trabajo de una fuerza es variable a lo largo de un eje es comprender bien el problema para poder plantear un buen sistema de coordenadas para facilitar la resolución. Además, como muchas cosas en la vida, la práctica ayuda también.
Entonces, como siempre ¡a los ejercicios!
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