Fuerza Hidrostática

Ya hemos aprendido a usar integrales para calcular áreas, volúmenes y algunos problemas físicos, incluyendo el trabajo realizado por una fuerza variable. Veamos ahora cómo aplicar integrales para calcular las fuerzas hidrostáticas.

Definición

Las fuerzas hidrostáticas son fuerzas de presión, es decir, necesitan contacto. Las fuerzas de presión son normales a la superficie del cuerpo (forman un ángulo de 90 grados con este).

Se sabe, por definición, que la fuerza es igual a la presión multiplicada por el área de acción de la fuerza:

\[F= \text { presión } \times \text { área de actuación de la fuerza}\]

Genéricamente, la presión que actúa sobre un cuerpo sumergido en un fluido se define como:

\[P=P_{a t m}+\rho g h, \text { donde } h \text { es la profundidad del cuerpo en el fluido}\]

Si tengo un cuerpo sumergido en un fluido a cada altura del cuerpo, las fuerzas de presión son diferentes porque la profundidad es diferente. Entonces, en cada pedazo infinitesimal de este cuerpo, las fuerzas son diferentes. ¡Recuerde que la fuerza de presión varía con la profundidad!

Por eso podemos escribir en su forma infinitesimal:

\[d F=d F_{\text {agua }}-d F_{a r}\]

\[d F=\left(P_{a t m}+\rho g h\right) d A-P_{a t m} d A\]

\[d F=\rho g h d A\]

Entonces, en problemas de presión hidrostática, necesitamos escribir \(d A\) en función de una variable que podamos integrar. Toda expresión debe estar únicamente en función de una variable (que será la variable de integración). Todos los demás términos deben ser constantes, que no influyen en la variable de integración.

Hagamos un ejemplo. Este ejemplo es bastante completo y, además del concepto de fuerza hidrostática, también implica el concepto de torque. Vamos a explicar todos los conceptos durante el ejercicio, ¿de acuerdo? 

Ejemplo: una puerta de \(1 m\) de de ancho y \(1.5 m\) altura se encuentra en una pared vertical y plana de un tanque de agua. La puerta está articulada a lo largo de su borde superior, que está \(1 m\) debajo de la superficie del agua. La presión atmosférica actúa sobre la superficie de la puerta. Si la presión sobre la superficie del agua es atmosférica, ¿qué fuerza se debe aplicar al borde inferior de la puerta para evitar que se abra?

En este caso, quiero que la puerta se quede estática, lo que significa que quiero que la suma de todas las fuerzas que actúan sobre ella sea cero. El primer paso es identificar las fuerzas que actúan en la puerta. Las fuerzas que actúan sobre la puerta son:

     \(\bullet\) Fuerza F (para sostener)

     \(\bullet\) Fuerzas de presión del agua y del aire

     \(\bullet\) Fuerza peso

     \(\bullet\) Fuerza de resistencia de la articulación.

Queremos averiguar la fuerza \(F\) pero tampoco sabemos la fuerza de la articulación y del peso de la puerta. Necesito otra ecuación. Para esto, usaremos otro concepto, que es el torque. El torque siempre se define en relación a un punto en el que el objeto rotará:

\[T= \text { Fuerza }\times \text{distancia en relación al punto de rotación}\]

Para que la puerta se quede estática, la suma de los torques ejercidos por las fuerzas debe ser cero. En estos problemas, siempre es importante establecer el origen del sistema de coordenadas, recordando que ustedes eligen este origen, lo importante es que siempre sean coherentes con él. 

Si establecemos que el eje de rotación está ubicado en el eje de articulación, que es el borde superior de la puerta, esto es ventajoso porque el torque se define como la fuerza por la distancia. En este caso, la distancia de la fuerza de articulación desde el eje de rotación es cero, lo que significa que el torque será cero.

Si en equilibrio la puerta está vertical, esto significa que la fuerza de peso no ejerce torque.

Por lo tanto, tendremos:

\[T=T_{F}+T_{p r e s i ó n}+T_{p e s o}+T_{a r t i c u l a c i ó n}=0\]

Con respecto al punto de articulación, que elegimos para que coincidiera con el borde superior de la puerta:

\[T=T_{F}+T_{p r e s i ó n}=0\]

Como el torque es igual a la fuerza multiplicada por la distancia en relación al eje de articulación:

\[T_{F}=F h\]

El par de la fuerza de presión es la fuerza de presión multiplicada por la distancia. Ya sabemos que la fuerza de presión cambia en cada punto de la puerta, por lo que el concepto es el mismo que cuando escribimos la fuerza de presión en su forma infinitesimal. Podemos escribir la expresión para el torque de la fuerza de presión también en su forma infinitesimal:

\[d T_{p r e s i ó n}=z d F_{p r e s i ó n}\]

\(z\) es la distancia de la fuerza al eje de articulación. Ahora tenemos que establecer \(d F_{p r e s i ó n}\), es decir, escribirlo en función \(z\) de manera que podamos integrar

Bien, sabemos que:

\[d F_{p r e s i ó n}=\rho g h d A\]

En este tipo de problema, tenemos que evaluar la forma escribir \(d A\) en función de algo que podemos integrar . Recuerde que \(d A\) es el elemento de área infinitesimal. ¡Tenemos que escribir así porque en cada punto infinitesimal la fuerza cambiará!

La puerta es un rectángulo, ¿verdad? Entonces, escriba \(d A\) basado en el sistema de coordenadas que elegimos anteriormente.

Entonces \(z\) sigue variando. Cada punto de la puerta tiene una altura diferente \((z)\). El ancho de la puerta no importa en este caso, siempre es el mismo independientemente de la altura. Si integramos \(d x\) tendríamos que integrar de \(0\) a \(1\), que es el ancho de la puerta, y eso daría exactamente \(1\). Entonces podemos olvidarnos de este \(d x\).

Entonces tenemos \(d z\), lo que significa que nuestra variable de integración es \(z\). Por lo tanto, tenemos que escribir \(h\) en función de nuestra variable de integración. ¿Quién es \(h\) en este caso? ¡\(h\) es siempre la profundidad del punto donde queremos la fuerza! Recuerda que la fuerza cambia con la profundidad. En este caso, el enunciado pide la fuerza que debe aplicarse a la parte inferior de la puerta. Esto significa que siempre debemos considerar la altura de este punto \((z)\).

Colocamos el origen del eje \(z\) en la parte superior de la puerta. La profundidad de la parte superior de la puerta con respecto al agua es fija e igual a \(h_{2}=1 m\). Lo que cambia es el punto \(z\) de la puerta donde estamos calculando la fuerza relativa al origen del eje \(z\).

Entonces, podemos escribir:

\[d F_{\text {p r e s i ó n}}=\rho g(1+z) d z\]

¡Ahora tenemos la expresión para \(d F_{p r e s i ó n}\) en función de \(z\)! ¡Entonces podemos volver a la expresión del torque!

\[T_{F}+T_{p r e s i ó n}=0\]

\[F h_{1}+d T_{p r e s i ó n}=0\]

\[d T_{p r e s i ó n}=z d F_{p r e s i ó n}\]

\[F h_{1}+z d F_{p r e s i ó n}=0\]

\[F h_{1}+\rho z g(1+z) d z=0\]

Podemos transformar la ecuación anterior en su forma integrada. Pero para eso tenemos que conocer los límites de integración. Cómo colocamos el origen del eje \(z\) en la parte superior de la puerta, este es el punto \(z=0\) y el punto final es el punto inferior de la puerta, donde queremos calcular la fuerza, que es \(1.5 m\), porque esta es la altura de la puerta.

Por lo tanto, tenemos:

\[F h_{1}+\int_{0}^{1.5} \rho g z(1+z) d z=0\]

Dado que el agua es incompresible, es decir, la densidad del fluido no cambia con la presión, entonces la densidad es constante con la altura y puede salir de la integral. \(g\) corresponde a la gravedad y también es constante. Por lo tanto, tenemos:

\[F h_{1}+\rho g \int_{0}^{1.5} z(1+z) d z=0\]

\[F h_{1}+\rho g \int_{0}^{1.5}\left(z+z^{2}\right) d z=0\]

\[F h_{1}+\rho g\left(\frac{z^{2}}{2}+\frac{z^{3}}{3}\right)_{0}^{1.5}=0\]

Sabemos:

\[h_{1}=1.5 m\]

\[\rho_{a g u a}=1000 \frac{k g}{m^{3}}\]

\[g=9.8 \frac{m}{s^{2}}\]

Sustituyendo los valores, encontramos:

\[F=14700 N\]

Sabemos que parece muy complicado, pero este problema es bastante completo. Por lo tanto, una vez que lo entiendan bien, habrán entendido todo lo que necesitan saber sobre las Fuerzas Hidrostáticas.

Lo importante, como siempre, es escribir las ecuaciones en una misma variable, y ahí aplicar la integral.

¡Vamos a los ejercicios para seguir practicando!