Cálculo de Volúmenes – Discos y Anillos

Método del Disco

Se llama así porque al rotar una figura alrededor de un eje tenemos los llamados sólidos de revolución. Lo que haremos será calcular el volumen de estos.

Rotación alrededor del eje \(x\)

Sea una \(f(x)\) continua en \([a, b]\).

Consideraremos la región limitada por el gráfico \(y=f(x)\) y por las rectas \(x=a\) y \(x=b\).

El volumen del sólido de revolución obtenido al rotar esta región alrededor del eje \(x\) es:

\[V=\int_{a}^{b} \pi[f(x)]^{2} d x\]

Esta función viene de la fórmula del área de un disco con radio \(f(x)\).

\[A=\pi R^{2}=\pi[f(x)]^{2}\]

Finalmente, veamos un ejemplo.

Vamos a calcular el volumen del sólido de revolución obtenido por rotación alrededor del eje \(x\) de la región limitada por la curva \(y=x^{2}\), por las rectas \(x=1\) y \(x=2\).

Parece muy complicado, pero simplemente hay que aplicar la fórmula:

\[V=\int_{1}^{2} \pi\left[x^{2}\right]^{2} d x=\int_{1}^{2} \pi x^{4} d x\]

\[V=\left.\frac{\pi x^{5}}{5}\right|_{1} ^{2}=\frac{31}{5} \pi\]

Rotación alrededor de una recta paralela al eje \(x\)

La diferencia en este caso es que el radio ya no es \(f(x)\), sino que es la diferencia entre \(f(x)\) y la distancia al eje de revolución. Con el gráfico se darán una mejor idea:

El volumen del sólido de revolución obtenido por la rotación de la región \(R\) alrededor de la recta \(y=L\) es:

\[V=\int_{a}^{b} \pi R^{2} d x=\int_{a}^{b} \pi[f(x)-L]^{2} d x\]

Donde L es simplemente un número.

Rotación alrededor del eje \(y\)

Para rotaciones alrededor del eje \(y\) el procedimiento será exactamente el mismo, pero la fórmula varía un poco:

\[V=\int_{a}^{b} \pi[f(y)]^{2} d y\]

Calculemos el volumen del sólido de revolución obtenido por la rotación alrededor del eje \(y\) de la región limitada por la curva \(y=f(x)=\ln x\), por las rectas \(x=0\), \(y=0\) y \(y=1\).

Observen que tenemos \(y=f(x)\), pero en la fórmula necesitamos un \(f(y)\). Entonces tenemos que escribir \(x\) en función de \(y\) (esto es despejar \(x\) en función de \(y\)):

\[y=\ln (x)\]

\[e^{y}=e^{\ln (x)}\]

\[x=e^{y}\]

Muy bien, con esta \(f(y)\) ahora podemos aplicar la fórmula, integrar, y resolver.

\[V=\int_{0}^{1} \pi\left[e^{y}\right]^{2} d y=\int_{0}^{1} \pi e^{2 y} d y\]

\[V=\left.\frac{\pi e^{2 y}}{2}\right|_{0} ^{1}\]

\[V=\frac{\pi}{2}\left(e^{2}-1\right)\]

Lo que tienen que tener en cuenta al resolver los ejercicios es ver qué les piden: si es en función de \(x\) o en función de \(y\). ¡Quizás tengan que reescribir la fórmula!

¡Ahora veamos algunos ejercicios!

Método del Anillo

La idea de este método es bastante similar a la idea del método del disco. La diferencia es que el método de los anillos se usa cuando giramos una región limitada por dos curvas alrededor de un eje, en lugar de girar una curva.

En palabras más simples: buscamos el volumen encerrado entre las dos curvas (al hacerlas girar).

El eje \(x\) ya no es el límite de la región que estoy girando. En este caso, siempre habrá una diferencia de volumen. ¿Complicado? Les aseguramos que no lo es, ¡sólo sigan y van a entender!

Rotación alrededor del eje \(x\)

Este es un sólido con un agujero en el medio. En este caso, siempre habrá una diferencia de volúmenes. El volumen será la diferencia entre el volumen de la región más grande y el volumen de la región más pequeña. Simplemente hay que encontrar los dos radios: el radio exterior \((R E)\) y el radio interior \((R I)\).

En el caso de que simplemente esté girando alrededor del eje \(x\), el radio externo será la función de arriba, en el caso de la figura \(f(x)\) y el radio interno será la función de abajo. En el caso de la figura, \(g(x)\).

\[V=\int_{a}^{b}\left(\pi R_{E}^{2}-\pi R_{I}^{2}\right) d x\]

\[V=\int_{a}^{b}\left(\pi[f(x)]^{2}-\pi[g(x)]^{2}\right) d x\]

Nota: estos ejercicios son similares a la resolución de áreas encerradas entre dos curvas, con la diferencia de que buscamos volúmenes.

Ejemplo: Encuentre el volumen del sólido obtenido por la rotación alrededor del eje \(x\) de la región delimitada por las curvas \(y=e^{x}\) e \(y=x\) y por las rectas \(x=0\) y \(x=2\).

\[V=\int_{0}^{2}\left(\pi R_{E}^{2}-\pi R_{I}^{2}\right) d x\]

\[V=\int_{0}^{2} \pi\left(\left[e^{x}\right]^{2}-[x]^{2}\right) d x\]

\[V=\pi \int_{0}^{2}\left(e^{2 x}-x^{2}\right) d x=\pi\left[\frac{e^{4}}{2}-\frac{8}{3}-\frac{1}{2}\right] u . v\]

Rotación alrededor de una recta paralela al eje \(x\)

En este caso, esta recta \(y=L\) se convierte en el eje de revolución. A continuación, los radios exterior e interior no son \(f(x)\) y \(g(x)\), porque la distancia al eje de revolución se convierte en la distancia de cada curva hasta esta línea \(y=L\). En definitiva, ocurre como vimos al principio, donde hay que restar el valor \(L\).

Lo que tenemos es lo siguiente:

\[R_{E}=f(x)-L\]

\[R_{I}=g(x)-L\]

\[V=\int_{a}^{b}\left(\pi R_{E}^{2}-\pi R_{I}^{2}\right) d x\]

\[V=\int_{a}^{b} \pi\left([f(x)-L]^{2}-[g(x)-L]^{2}\right) d x\]

Rotación alrededor del eje \(y\)

En este caso, lo único que cambia es que ambas funciones deben definirse en función de la variable \(y\). Al igual que con el volumen de un sólido generado por la rotación de una región limitada por una curva y el eje, la variable independiente debe ser la misma del eje sobre el cual se realiza la rotación.

Es decir, se debe escribir la \(f(x)\) como \(f(y)\) como vimos más arriba. Simplemente hay que despejar \(x\) en función de \(y\) e integrar con la fórmula conocida.

\[V=\int_{a}^{b} A(y) d y=\int_{a}^{b}\left(\pi[f(y)]^{2}-\pi[g(y)]^{2}\right) d y\]