Capas Cilíndricas

¿Cuándo debemos aplicar el método de las capas cilíndricas?

Utilizamos este método para calcular volúmenes de sólidos de revolución, que son sólidos obtenidos por la rotación de una figura alrededor de un eje. 

Por ejemplo, un cono es un sólido de revolución, obtenido por la rotación de un triángulo alrededor de un eje:

No necesitamos una integral para calcular el volumen de un cono, ¿verdad? Pero no serán los casos que vamos a ver.

Ahora supongamos que queremos calcular el volumen del sólido originado por la rotación alrededor del eje \(y\), el gráfico de una función \(f(x)\) a lo largo de un intervalo \([a, b]\):

Imaginemos una "capa" que está a una distancia \(x\) del eje \(y\), tiene una altura \(f(x)\) y espesor pequeño \(d x\).

El volumen de revolución de esta capa alrededor de \(y\) es:

\[d v=2 \pi x \cdot f(x) d x\]

Entendiendo:

\[2 \pi x \text { es el perímetro de la circunferencia } (2 \pi r, \text {¿recuerdan?})\]

\[f(x) d x \text { (altura por espesor)}\]

Luego, podemos integrar de \(x=a\) a \(x=b\) esta expresión y obtendremos el volumen que queremos:

\[V=\int_{a}^{b} 2 \pi x f(x) d x\]

Puntos a resaltar

Si la función tiene un signo negativo en el intervalo de integración, debemos calcular:

\[V=\int_{a}^{b} 2 \pi x(-f(x)) d x\]

Otra cosa: también podemos aplicar el método para curvas que giran alrededor de \(x\):

Considerando las siguientes diferencias: \(y\) es el radio, \(d y\) es el espesor de la capa y \(f(y)\) es el ancho de la capa.

\[V=\int_{0}^{3} 2 \pi y f(y) d y\]

¡Ahora vamos a los ejercicios para practicar!