Área con Integral Impropia

Funciones sin fin

Ya hemos visto cómo calcular varios tipos de área entre curvas y ejes, pero ¿y si tienen que calcular el área entre el eje x y una función que se extiende hasta el infinito?

La resolución es siempre la misma: vamos a calcular la integral:

\[A=\int_{a}^{b} f(x) d x\]

Donde la figura nos muestra que \(a=0\).

Pero cuando queremos hallar el otro punto de integración llegamos a un problema: la función no toca nunca el eje \(x\) porque este es una asíntota horizontal.

No es para asustarse. Como sabemos, podemos trabajar con el infinito en las integrales. Bueno, ¡hagamos eso entonces!

\[A=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+1)(x+2)} d x\]

\[A=\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_{0}^{b} \frac{1}{(x+1)(x+2)} d x\]

Funciones que explotan

Otro caso que puede aparecer es en el que piden para calcular el área entre el eje \(x\) y

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}, \quad-1<x \leq 0\]

Observe que el denominador se anula en \(x=-1\), lo que hace que la función tienda al infinito.

Veamos el gráfico de esta función para entender qué sucede:

Cuando encontremos una asíntota vertical como esta, haremos:

\[A=\lim _{a \rightarrow-1^{+}} \int_{a}^{0} \frac{1}{\sqrt{x+1}} d x\]

Entonces, siempre conviene hacer un gráfico aproximado para saber a qué nos estamos enfrentando. Sí la función sigue hasta el infinito en el eje \(x\), entonces uno de los límites de integración será \(\infty\). Sí la función explota al infinito en el eje \(y\), entonces el valor en el que explota al infinito será uno de los límites de integración.

¡Eso es todo! ¡Suerte con los ejercicios!