Área de Superficies de Revolución

Puede que el nombre sea intimidante, pero te aseguro que no lo es.

Primero, una superficie de revolución es una superficie generada cuando giramos una curva alrededor de un eje. Pensemos, por ejemplo, en una esfera.

Si giramos la función:

\[y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}\]

Que es un semicírculo de radio \(a\) y centrado en el origen, alrededor del eje \(x\), tendremos la siguiente superficie resultante:

Rotación alrededor del eje \(x\)

Si una función \(y=f(x) \geq 0\) es derivable en un intervalo \([a, b]\), entonces el área de superficie generada por la rotación de esta función alrededor del eje \(x\) es:

\[S=\int_{a}^{b} 2 \pi f(x) \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} d x\]

Rotación alrededor del eje \(y\)

Si una función \(x=g(y) \geq 0\) es derivable en un intervalo \([c, d]\), entonces el área de superficie generada por la rotación de esa función alrededor del eje \(y\) es:

\[S=\int_{c}^{d} 2 \pi g(y) \sqrt{1+\left[g^{\prime}(y)\right]^{2}} d y\)]

¡Solo debes aplicar la fórmula! Pero veamos esto en la práctica.

El segmento de recta \(x=1-y\), \(0 \leq y \leq 1\) es girado alrededor del eje \(y\), generando el cono de la figura a continuación. Calculemos el área de superficie lateral de este sólido de revolución.

Una observación importante: las fórmulas son para calcular solo el área generada por la rotación. Es decir, en este caso es precisamente lo que se quiere: el área lateral del cono.

Si preguntara por toda el área exterior del cono, tendríamos que agregar el área de la base, ¿de acuerdo?

De todos modos, basta usar la fórmula con \(g(y)=1-y\), y los intervalos de integración \(c=0\) y \(d=1\):

\[S=\int_{0}^{1} 2 \pi(1-y) \sqrt{1+\left[(1-y)^{\prime}\right]^{2}} d y\]

\[S=\int_{0}^{1} 2 \pi(1-y) \sqrt{2} d y\]

\[S=\left.2 \pi \sqrt{2}\left(y-\frac{y^{2}}{2}\right)\right|_{0} ^{1}=\sqrt{2} \pi\]