Resistencia y Resistividad

Resistencia

Si medimos la corriente resultante \((i)\) al aplicar una diferencia de potencial \((V)\) en un conductor, podemos obtener la resistencia \((R)\) de dicho material, que será dada por:

\(R=\frac{V}{i}\)

La resistencia es una magnitud que expresa la oposición del flujo de corriente eléctrica a través de un conductor . Es medida en Ohms y representada por la letra omega \([\Omega]\).  

La mayoría de las resistencias que veremos son óhmicas, es decir, la resistencia no varía con la diferencia de potencial. En ese caso, la relación de arriba se llama Ley de Ohm y si analizamos el gráfico de la diferencia de potencial \((V)\) en función de la corriente \((i)\), veremos que el gráfico es una recta, con coeficiente angular \((R)\).

La resistencia es aquello que explica el porqué de barras de mismas dimensiones, pero distintos materiales, presentan resultados diferentes cuando son sometidas a una misma diferencia de potencial. 

Cuando en un circuito, un conductor tiene la función de introducir una cierta resistencia es denomina resistor. Seguiremos hablando acerca de esto cuando veamos circuitos!!

Resistividad

La resistividad es la resistencia (eléctrica) específica de un material, es designada por la letra griega rho (ρ) y se mide en ohmios por metro (Ω • m). La resistividad describe el comportamiento de un material frente al paso de la corriente eléctrica, dando una idea de lo bueno o malo conductor que es.
Cuanto mayor sea la resistividad, menor la tendencia del elemento de circuito de dejar pasar electrones (o sea, peor conductor es).

La resistividad es la razón entre el módulo del campo eléctrico en un elemento de circuito y el módulo de la densidad de corriente:

\(\rho=\frac{E}{J} \rightarrow \vec{E}=\rho \vec{J}\)

La unidad de medida de la resistividad es “Ohm • metro” \([\Omega . m]\).

Pero… ¡¿cómo la resistividad y la resistencia están relacionadas?!

Atención: demostración importante a continuación ;)

Así que, manos a la obra, vamos a imaginar un resistor en forma de primas conectado a los cables del circuito:

Dado que la resistencia es una medida de cuánto el elemento se resiste, debes concordar conmigo que, si aumentamos su longitud \(L\) (manteniendo \(A\) constante), la resistencia va a aumentar, cierto? Es como si estuvieras en un embotellamiento en la 5ta Avenida y alguien doblase su longitud. Se volverá el doble de molesto/resistente cruzarla.

Por tanto, es razonable decir que la resistencia es proporcional a la longitud \(L\):

\(R \propto L\)

Análogamente, si aumentaramos el área de sección recta \(A\) (manteniendo \(L\) constante), debes concordar que la resistencia disminuye, pues habría más espacio para que los electrones pasen. ¿Entendido?

Entonces, podemos decir que la resistencia es inversamente proporcional a \(A\):

\(R \propto \frac{1}{A}\)

Si esta es proporcional a esas dos cosas, es también proporcional al producto de ellas:

\(R \propto \frac{L}{A}\)

Además, cuando dos cosas son proporcionales, tenemos que existe una constante de proporcionalidad entre ellas. Esa constante es la resistividad:

\(R=\rho \frac{L}{A}\)

Esta fórmula es bastante importante, y muchas veces no viene en el formulario!!! Recordando que solo es válida si el resistor es un prisma (i.e. cubo, paralelepípedo, cilindro, etc).

Diferencia entre Resistencia y Resistividad

La resistencia es una propiedad que depende de la resistividad y de su geometría. 

La resistividad, por otra parte, es una propiedad solamente del material.  Solo para mostrar un ejemplo, la resistividad del cobre es \(1,72 \times 10^{-8} \Omega . m\) y la del níquel es \(6,99 \times 10^{-8} \Omega . m\). 

Conductividad

La conductividad \((\sigma)\) es la inversa de la resistividad, y está definida por:

\(\sigma=\frac{1}{\rho}\)

De tal forma que:

\(\sigma=\frac{J}{E} \rightarrow \vec{J}=\sigma \vec{E}\)

La ecuación anterior es una de las maneras de escribir la ley de Ohm!

Si la resistividad es la propiedad del material que dificulta el paso de la corriente, la conductividad es la propiedad que facilita el paso de la corriente en dicho material. Cuanto mayor es la conductividad, mejor conductor es el material. 

La unidad de conductividad en el S.I es \((\Omega . \mathrm{m})^{-1}\). 

Variación de la Resistividad en Metales

La mayoría de las propiedades físicas varía según la temperatura. Resulta que, en la mayoría de los casos, simplemente ignoramos dicha variación.

Uno de los casos a tener en cuenta es cuando esa variación de temperatura afecta la resistividad de un conductor, ya que esto influye directamente en la forma en que la corriente pasa a través de él.

En el caso de los metales, en general, podemos decir que la resistividad varía linealmente con la variación de temperatura. Esta relación viene dada por:

\(\rho-\rho_{0}=\rho_{0} \alpha\left(T-T_{0}\right)\)

Donde \(\rho_{0}\) y \(T_{0}\) son, respectivamente, la resistividad y la temperatura inicial, y \(\rho\) y \(T\) son, respectivamente, la resistividad y la temperatura final.

Generalmente, la temperatura \(T_{0}\) de referencia utilizada es \(293 K\) o \(20^{\circ} \mathrm{C}\).

Como la expresión anterior trabaja con la variación de la temperatura \(\left(T-T_{0}\right)\), en este caso, puedes usar la escala Kelvin o Celsius, no te preocupes. 

El término \(\alpha\) es llamado coeficiente de temperatura de la resistividad, y sus valores son tabulados, variando de acuerdo el material. La unidad de medida de \(\alpha\) es \(\left[K^{-1}\right]\).

Variación de la Resistencia en Metales

Abordaremos de este tema solo para hablar acerca de un detalle medio tonto, pero que vale la pena destacar para no cometer errores luego.

Acabamos de ver como la resistividad varía con la temperatura, ¿cierto?

Anteriormente, también vimos que la resistencia \((R)\) y la resistividad \(\rho\) de un conductor (de área transversal constante) están relacionadas por:

\(R=\frac{\rho L}{A}\)

Cuando un conductor sufre una determinada variación de temperatura, tanto su longitud \((L)\), como su área transversal \((A)\) varían muy poco.

Suponiendo que tanto \(L\) como \(A\) permanecen constantes, podemos decir que, así como la resistividad, la resistencia varía con la temperatura de la siguiente manera:

\(R-R_{0}=R_{0} \alpha\left(T-T_{0}\right)\)

Donde \(R_{0}\) y \(R\) son, respectivamente, las resistencias inicial y final.

Eso es todo, ¿qué te parece si vamos a practicar?