Parábolas
¿Qué son las cónicas?
¿Recuerdas las ecuaciones de segundo grado? Por ejemplo, como esta:
\[x^{2}=8 y\]
A continuación nos adentraremos un poco más en su función.
¿Alguna vez has visto figuras (curvas) como las del gráfico?
La curva verde seguramente te parezca más familiar, pues se trata de una parábola. Las otras son diferentes. La curva azul es llamada elipse y las dos curvas rojas forman una hipérbola.
Todas estas figuras son llamadas cónicas. Son curvas definidas por ciertas ecuaciones predeterminadas y que son graficadas en el plano, es decir, en \(2D\).
Hablemos de la parábola.
¿Qué es una parábola?
Las parábolas representan el gráfico de las ecuaciones de segundo grado.
Su definición geométrica es:
“Dada una recta \(d\) y un punto \(F\), la parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia hasta \(F\) es igual a la distancia hasta la recta \(d\)”.
\[d(F, P)=d\left(P, P^{\prime}\right)\]
¡Es un poco confuso, pero lo vas a entender!
La definición habla de una recta \(d\) y un punto \(F\). Vamos a comenzar por ahí:
Ahora mira el gráfico:
Como puedes notar, la distancia entre \(P\) y la recta \(d\) es igual a la distancia entre \(P\) y el punto \(F\), por lo que formará parte de la parábola.
Para hallarla debemos encontrar todos los puntos con esa propiedad:
Y así hallamos la parábola, el lugar geométrico de los puntos cuya distancia hasta \(F\) es igual a la distancia hasta la recta \(d\).
Elementos de la Parábola
Para construir y estudiar la parábola debemos saber sus partes. Mira el gráfico:
Tenemos que:
\(\bullet\) Foco: es el punto \(F\)
\(\bullet\) Directriz: la recta \(d\)
\(\bullet\) Eje: es la recta que contiene el foco y es perpendicular a la directriz
\(\bullet\) Vértice: es el punto \(V\), el cual es la intersección de la parábola con su eje, equidistante al foco y a la directriz.
Luego de trazar la recta perpendicular a la directriz, obtenemos varias relaciones importante:
\(\bullet\) \(d(V, A)=d(V, F)\), es decir, el vértice es equidistante al foco y a la directriz.
\(\bullet\) El parámetro \((p)\) de una parábola es la distancia entre el foco y la directriz.
Tipos de Parábolas
La parábola puede ser graficada de \(3\) maneras distintas:
Caso \(1\): el vértice de la parábola es el orígen y su eje es el eje de las \(y\).
Caso \(2\): el vértice de la parábola es el orígen y su eje es el eje de las \(x\).
Caso \(3\): traslación.
A continuación veremos cada uno de ellos.
Caso \(Nº1\)
Se trata de una parábola cuyo vértice es el origen y su eje es el eje de las \(y\). Veamos un ejemplo:
Mira la expresión: \(x^{2}=8 y\)
Atribuyéndole valores a \(x\) y encontrando \(y\), tenemos:
Colocando estos puntos en el plano y uniendolos, tenemos:
Obtenemos una parábola cuyo vértice es el origen y su eje es el eje de las \(y\). De forma general:
Sea un punto \(P\) con coordenadas \((x, y)\) un punto cualquiera de la parábola de foco \(F\left(0, \frac{p}{2}\right)\), tenemos:
La parábola está hecha de la misma manera que la del ejemplo.
De la definición de la parábola, tenemos que:
\[d(F, P)=d\left(P, P^{\prime}\right)\]
En este caso:
\[d(F, P)=d\left(P, P^{\prime}\right) \rightarrow|\overrightarrow{P F}|=\left|\overrightarrow{P P^{\prime}}\right|\]
Siendo \(P^{\prime}\) perteneciente a la directriz, tenemos que \(P^{\prime}=\left(x,-\frac{p}{2}\right)\) mientras que \(F=\left(0, \frac{p}{2}\right)\). Sustituyendo y calculando la distancia de la expresión tenemos:
\[d(F, P)=d\left(P, P^{\prime}\right)\]
\[\sqrt{(0-x)^{2}-\left(\frac{p}{2}-y\right)^{2}}=\sqrt{(x-x)^{2}+\left(y-\left(-\frac{p}{2}\right)^{2}\right.}\]
Resolviendo la ecuación, obtenemos:
\[x^{2}=2 p y\]
Esa es la ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje en \(y\).
Entonces en ejemplo en que \(x^{2}=8 y\), tenemos \(x^{2}=2 \cdot 4 y\), es decir, tenemos que \(p=4\).
Como \(x^{2}\) siempre es un valor positivo, los valores de \(p\) y \(y\) tienen dos posibilidades:
\(\bullet\) \(p>0 \text { y } y>0\)
\(\bullet\) \(p<0 \text { y } y<0\)
Con estas dos posibilidades surgen las parábolas que conocemos. En los gráficos a continuación están las dos posibilidades para \(p\) y \(y\) así como sus directrices.
Caso \(Nº2\)
Vamos a suponer que en lugar de \(x^{2}=8 y\), tuviéramos \(y^{2}=8 x\). Haciendo el mismo esquema, la parábola sería:
Como puede notar, ahora está de lado. Vamos a analizar este caso con el siguiente gráfico:
Los pasos para determinar la ecuación de la parábola son los mismos que el del caso anterior, pero ahora el foco es \(F\left(\frac{p}{2}, 0\right)\) y \(P^{\prime}=\left(-\frac{p}{2}, y\right)\). Calculando la distancia, obtenemos la expresión:
\[d(F, P)=d\left(P, P^{\prime}\right)\]
\[\sqrt{\left(\frac{p}{2}-x\right)^{2}-(0-y)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-\frac{p}{2}\right)\right)^{2}+(y-y)^{2}}\]
\[y^{2}=2 p x\]
Esa es la ecuación de la parábola cuando el vértice es \(V=(0,0)\) y el eje es \(x\). En este caso nuevamente tenemos dos posibilidades para \(p\) y \(x\), mostradas en el gráfico:
En el ejemplo, \(y^{2}=8 x \rightarrow y^{2}=2 \cdot 4 x\), entonces \(p=4\) y la directriz es \(x=-2\).
Caso \(Nº3\)
Vamos a suponer la ecuación \((x-6)^{2}=8(y-4)\). Ten en cuenta que esta vez la parábola está “flotando”, no está sobre ningún eje:
Para entender este caso, vamos a comenzar haciendo la traslación. La traslación es el cambio de coordenadas, como se muestra en el gráfico a continuación:
En el gráfico tenemos el sistema \(xy\), pero también en tenemos líneas punteadas el sistema \(x^{\prime} y^{\prime}\). Entonces, analizando el gráfico vemos que:
\[x=x^{\prime}+h \quad \text {y} \quad y=y^{\prime}+k\]
Reescribiendo:
\[x^{\prime}=x-h \quad \text {y} \quad y^{\prime}=y-k\]
Entonces, en el ejemplo:
\[(x-6)^{2}=8(y-4)\]
Para resolver, vamos a suponer que \(y^{\prime}=y-4\) y que \(x^{\prime}=x-6\), entonces tendremos:
\[x^{\prime 2}=8 y^{\prime}\]
Con este cambio de coordenadas nos encontramos nuevamente en el caso \(1\) o \(2\).
En ese caso, ya hemos visto en el caso \(1\) que \(1\) \(V^{\prime}=(0,0), F^{\prime}=(0,2), d^{\prime}: y^{\prime}=-2\). Pero ahora todo esto está en el sistema \(x^{\prime} y^{\prime}\), ahora pasemos de nuevo a \(xy\), recordando que \(x=x^{\prime}+6\) y \(y=y^{\prime}+4\):
\[V=(0+6,0+4)=(6,4)\]
\[F=(0+6,2+4)=(6,6)\]
\[d: y=-2+4 \rightarrow y=2\]
En este caso tenemos que cambiar las coordenadas, hallar los parámetros en \(x^{\prime} y^{\prime}\) y luego cambiar de coordenadas nuevamente.
¡Y eso es todo amigos, vamos a practicar en la sección de ejercicios!
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