Rotación de Secciones Cónicas - Método de los Autovalores
Introducción
Probablemente conozcas las parábolas, elipses e hipérbolas que se encuentran a lo largo del eje \(x\) o \(y\). Pero existen cónicas que están “torcidas”, como esta:
Se dice que están rotadas. Normalmente el ejercicio nos proporciona su ecuación general y debemos descubrir qué cónica es.
Existen dos maneras de hacerlo: el método matricial (usado en geometría analítica) o el método de los autovalores (usado en álgebra lineal), el cual veremos a continuación.
Ecuación General de las Cónicas
En estos ejercicios, tendremos una ecuación general que tiene la forma:
\[A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0\]
Siendo \(A, B, C, D, E \) y \(F\) constantes.
Recordando que: cualquier cónica puede ser escrita mediante la ecuación general.
Cónicas degeneradas
Mirando la ecuación nos podemos preguntar: ¿las parábolas, elipses e hipérbolas son las únicas cónicas? Pues no, también existen las cónicas degeneradas.
Las cónicas degeneradas son todas las demás cónicas que no son elipse, parábola o hipérbola. Algunos ejemplos son:
\(\bullet\) \(x^{2}+y^{2}+7=0\) (vacío)
\(\bullet\) \(x^{2}+y^{2}=9\) (circunferencia)
\(\bullet\) \(y^{2}=0\) (\(y=0\), eje \(x\))
\(\bullet\) \(x y=0\) (par de rectas, los ejes \(x\) y \(y\))
\(\bullet\) \(3 x^{2}+2 y^{2}=0\) (orígen)
\(\bullet\) \(y^{2}-1=0\) (par de rectas paralelas)
\(\bullet\) \(-2 x+y-1=0\) (recta)
Volviendo a las cónicas no degeneradas, es decir, la elipse, parábola e hipérbola.
En la ecuación general, que vimos anteriormente podemos notar el término \(xy\). Por medio de estos términos tenemos dos casos:
\(\bullet\) Caso 1: \(B=0\), si esto sucede, entonces significa que la cónica puede estar trasladada.
\(\bullet\) Caso 2: \(B \neq 0\), significa que la cónica está rotada. Además, también puede estar trasladada.
Rotación de cónicas
En esta ocasión estudiaremos un método de resolución para el caso 2, el cual involucra conceptos tanto de álgebra lineal como de geometría analítica.
Para rotar cónicas, vamos a sacarlas del sistema de coordenadas \(xOy\) para pasarlas al sistema \(x^{\prime}Oy^{\prime}\).
Primero, vamos a recordar la ecuación general de las cónicas:
\[A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0 \space (1)\]
Bien, ahora vamos a suponer que el ejercicio nos dió la ecuación:
\[4 x^{2}+4 x y+1 y^{2}+2 x+6 y-9=0\]
Los coeficientes son: \(A=4, B=4, C=1, D=2, E=6\) y \(F=-9\).
Como en este caso \(B \neq 0\), es decir, como el término \(xy\) está presente, la cónica está rotada, así que vamos a ajustar la ecuación y descubrir qué cónica es.
Paso 1: escribir la forma matricial
La ecuación general de las cónicas puede ser reescrita de forma matricial:
\[[x y]\left[\begin{array}{cc}A & \frac{B}{2} \\ \frac{B}{2} & C\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]+[D E]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]+F=0\]
Vamos a usar la expresión del ejemplo anterior. Y por cierto, cuando vayas a armar las matrices fijate en el lugar exacto de las constantes, es decir, la constante \(A\) es la de \(x^{2}\), la \(B\) es de \(xy\) y así sucesivamente.
Entonces, en el ejemplo:
\[\left[\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}2 & 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]-9=0\]
Paso 2: hallar la matriz \(H\)
Una vez armada la expresión \(2\), vamos a definir la matriz \(H\).
\[[x y]\left[\begin{array}{ll}A & \frac{B}{2} \\ \frac{B}{2} & C\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}D & E\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]+F=0\]
Entonces, en este caso:
\[H=\left[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right]\]
Paso 3: calcular los autovalores
Vamos a hallar los autovalores de la matriz \(H\). Pero, ¿qué son los autovalores?
Los autovalores de una matriz \(A\) son los valores que \(\lambda\) puede asumir en la ecuación:
\[\operatorname{det}(A-\lambda I)=0 \space(3)\]
Vamos a calcular los autovalores de la matriz \(H\) a modo de ejemplo:
\[H=\left[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right]\]
Para hallar los autovalores debemos calcular \(\operatorname{det}(H-\lambda I)\), es decir, la matriz \(H\) menos la matriz identidad multiplicada por \(\lambda\):
\[\left|\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right|-\lambda\left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right|=0\]
\[\left|\begin{array}{cc}4-\lambda & 2 \\ 2 & 1-\lambda\end{array}\right|=0\]
Calculando el determinante de la matriz, tenemos:
\[(4-\lambda)(1-\lambda)-4=0\]
\[\lambda^{2}-5 \lambda=0 \rightarrow \lambda(\lambda-5)=0\]
Los valores de \(\lambda\) son:
\[\lambda^{\prime}=0 \space \text { y } \space \lambda^{\prime \prime}=5\]
Los autovalores son los \(\lambda\) hallados.
Paso 4: calcular los autovalores unitarios
Ya que tenemos los autovalores vamos a encontrar los autovectores. Además, el autovector que encontraremos debe ser unitario, es decir, su módulo debe ser \(1\).
Entonces, suponiendo que el autovector es:
\[v=\left[\begin{array}{l}x_{0} \\ y_{0}\end{array}\right]\]
Vamos a hallar los valores de \(x_{0}\) y \(y_{0}\) haciendo:
\[(H-\lambda I) v=0\]
En el ejemplo:
Para \(\lambda^{\prime}=0\)
Vamos a comenzar hallando el autovector para \(\lambda^{\prime}=0\). Tendremos:
\[(H-0 \cdot I) v^{\prime}=0\]
Como la matriz identidad es anulada por el \(0\):
\[H \cdot v^{\prime}=0\]
\[\left|\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right|\left[\begin{array}{l}x_{0} \\ y_{0}\end{array}\right]=0\]
En este caso encontraremos dos ecuaciones:
\[4 x_{0}+2 y_{0}=0\]
\[2 x_{0}+y_{0}=0\]
Como puedes notar, la primera ecuación es el doble de la segunda. Podemos despejar \(x_{0}\) en la segunda ecuación:
\[x_{0}=-\frac{y_{0}}{2}\]
Vamos a asignarles valores a continuación. Si elegimos \(y_{0}=2, x_{0}\) será \(x_{0}=-1\).
Casi encontramos el autovector, pero estamos olvidando que debe ser unitario. Por tanto, debemos calcular el módulo del autovector y dividir cada una de sus coordenadas por el módulo.
Tenemos que \(\left(x_{0}, y_{0}\right)=(-1,2)\), su módulo es \(\sqrt{5}\). Por tanto, el autovector unitario será:
\[v^{\prime}=\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}\right)\]
Para \(\lambda^{\prime \prime}=5\)
Vamos a calcular el autovector para \(\lambda^{\prime \prime}=5\), el procedimiento es el mismo:
\[(H-5 \cdot I) v^{\prime \prime}=0\]
\[\left(\left|\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right|-5\left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right|\right) \cdot v^{\prime \prime}=0\]
\[\left|\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 2 & -4\end{array}\right| \cdot v^{\prime \prime}=0\]
\[\left|\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 2 & -4\end{array}\right|\left[\begin{array}{l}x_{0} \\ y_{0}\end{array}\right]=0\]
Armando la expresión multiplicando a partir de la primera fila, tenemos:
\[-1 x_{0}+2 y_{0}=0\]
\[2 y_{0}=x_{0}\]
Asignando valores nuevamente, y escogiendo \(y_{0}=1\), tenemos que \(x_{0}=2\).
Teniendo \(\left(x_{0}, y_{0}\right)=(2,1)\), su módulo será \(\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}\), entonces, el vector unitario será:
\[v^{\prime \prime}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)\]
Paso 5: armar las matrices \(D\) y \(P\)
Teniendo los autovalores y autovectores unitarios, armaremos dos matrices: la matriz \(P\), que será la matriz de autovectores y la matriz \(D\), que será la matriz autovalores. Las matrices serán:
\[D=\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2}\end{array}\right]\]
Para armar la matriz \(D\) siempre tendremos que colocar los valores hallados para los autovalores en su diagonal y la diagonal secundaria siempre serán ceros.
Sus columnas se referirán a uno de los autovectores. Por ejemplo, si consideramos el autovector \(v=\left(x_{0}, y_{0}\right)\) y el segundo autovector \(v_{1}=\left(x_{1}, y_{1}\right)\), entonces la matriz \(P\) será:
\[P=\left[\begin{array}{ll}x_{0} & x_{1} \\ y_{0} & y_{1}\end{array}\right]\]
¡Debemos tener cuidado! La primera columna de la matriz debe tener el autovector relacionado al mismo autovalor que está en la \(1^{era}\) columna de la matriz \(D\), y lo mismo en la segunda columna. Entonces, tendremos la siguiente relación:
La matriz \(P\) también tiene otra característica. Esta nos da el ángulo de rotación de la cónica, porque:
\[P=\left[\begin{array}{ll}x_{0} & x_{1} \\ y_{0} & y_{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]\]
Por tanto, la rotación de la cónica será \(\theta\).
En el ejemplo:
\[D=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 5\end{array}\right]\]
\[P=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}}\end{array}\right]\]
Paso 6: escribir la expresión
Habiendo hecho los anteriores pasos, vamos a usar los datos que hallamos para escribir la siguiente expresión:
\[\left[\begin{array}{ll}x^{\prime} y^{\prime}\end{array}\right]\underbrace{\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2}\end{array}\right]}_{D}\left[\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}D & E\end{array}\right]\underbrace{\left[\begin{array}{ll}x_{0} & x_{1} \\ y_{0} & y_{1}\end{array}\right]}_{P}\left[\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{array}\right]+F=0 \space (5)\]
En este paso podemos notar que todos los cálculos que hicimos servirían para hacer el cambio de coordenadas de \(xy\) a \(x^{\prime}y^{\prime}\). Esto lo hicimos con el objetivo de eliminar el término \(B x y\) de la cónica para así poder trabajar con ella.
Teniendo la expresión \((5)\), vamos a hacer las multiplicaciones de las matriz para obtener una ecuación que dependerá de \(x^{\prime}\) y \(y^{\prime}\), donde tendremos el término \(B=0\), es decir, solo tendremos que completar cuadrados para hallar la cónica. Entonces, en el ejemplo:
\[\left[x^{\prime} y^{\prime}\right]\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}2 & 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{array}\right]-9=0\]
Multiplicando las matrices:
\[5 y^{\prime 2}+2 \sqrt{5} x^{\prime}+2 \sqrt{5} y^{\prime}-9=0\]
Ya tenemos la expresión en el nuevo sistema de coordenadas y sin el término \(xy\). Vamos a descubrir qué cónica es.
Completando cuadrados en \(y^{\prime}\):
\[\left(5 y^{\prime 2}+2 \sqrt{5} y^{\prime}+1\right)+2 \sqrt{5} x^{\prime}-9-1=0\]
\[\left(\sqrt{5} y^{\prime}+1\right)^{2}=10-2 \sqrt{5} x^{\prime}\]
Haciendo los ajustes necesarios, veremos que se trata de una parábola trasladada en el eje \(x\). A continuación tenemos el gráfico de la parábola antes de ser rotada (en azul) y luego de hacer los ajustes (en rojo):
En este caso la relación entre \(xy\) y \(x^{\prime}y^{\prime}\) es la siguiente:
\[\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\underbrace{\left[\begin{array}{ll}x_{0} & x_{1} \\ y_{0} & y_{1}\end{array}\right]}_{P}\left[\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{array}\right]\]
Y eso era todo lo que necesitas saber para resolver este tipo de ejercicios.
Para terminar, hablemos un poco sobre la representación paramétricas de las cónicas.
Ecuaciones Paramétricas de la Cónicas
De las muchas cónicas que existen , solo \(3\) de ellas tienen ecuaciones paramétricas. “¿Y qué es una ecuación paramétrica?”- Te estarás preguntando
Es una forma particular de representar las cónicas, por lo general usando coordenadas polares, porque son \(2D\)
\(\bullet\) Elipse
Considerando una elipse de ecuación:
\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]
En el siguiente gráfico podremos observar las ecuaciones paramétricas:
\[x=a \cdot \cos \theta\]
\[y=b \cdot \sin \theta\]
\(\bullet\) Hipérbola
Considerando una hipérbola de ecuación:
\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]
Con ayuda de algunas relaciones trigonométricas y el gráfico, obtendremos las ecuaciones paramétricas:
\[x=a \cdot \sec \theta\]
\[y=b \cdot \tan \theta\]
\(\bullet\) Circunferencia
Considerando una circunferencia como la del gráfico, de ecuación:
\[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=a^{2}\]
Tendremos como ecuaciones paramétricas:
\[x-x_{0}=a \cdot \theta\]
\[y-y_{0}=a \cdot \sin \theta\]
¡Y eso es todo amigos, no olviden practicar en la sección de ejercicios!
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