Superficie Esférica
Introducción
Todos hemos hecho algún deporte como voleibol, fútbol, baloncesto e incluso otros. Por lo que debes conocer la siguiente figura:
Sabemos que es una esfera, pero ¿cómo definimos una esfera en geometría analítica?
Superficie Esférica
En el espacio, podemos tener lugares geométricos de forma esférica, como por ejemplo:
Estas esferas cuentan con ecuaciones propias que las definen, así como los lugares geométricos que hemos visto anteriormente. ¿Qué necesitamos para escribir la ecuación de una esfera?
Para definir una esfera necesitamos conocer las coordenadas del centro de la esfera \(C=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\) y su radio \(\rho\). \(x=(x, y, z)\)
Entonces, una vez definido el centro y el radio, un punto \(x=(x, y, z)\) pertenecerá a la esfera si satisface la siguiente ecuación:
\[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}=\rho^{2}\]
Esta ecuación es llamada “ecuación reducida de la superficie esférica”.
Entonces, si el centro de una esfera es \(C=(3,2,4)\) y su radio es \(3\), ¿cuál es su ecuación? Es esta:
\[(x-3)^{2}+(y-2)^{2}+(z-4)^{2}=9\]
Y el gráfico de esa esfera es:
Y si tenemos una ecuación como:
\[(x+3)^{2}+(y+1)^{2}+(z-3)^{2}=9\]
Donde el centro en lugar de estar restando está sumando. ¿Qué quiere decir eso?
Si el signo dentro de los paréntesis es positivo, ¿significa que la coordenada del centro es negativa? Entonces, en este caso el centro sería \(C=(-3,-1,3)\). Y su radio es \(\sqrt{9}=3\).
Pero entonces, ¿la ecuación de una superficie esférica sólo puede ser escrita de esa manera? ¡No! Otra forma de escribirla es desarrollar los cuadrados de la expresión anterior (por producto notables), para así obtener una expresión llamada “ecuación general de una superficie esférica”:
\[x^{2}+y^{2}+z^{2}+a x+b y+c z+d=0\]
Entonces, en el ejemplo de la esfera, la ecuación general es:
\[(x+3)^{2}+(y+1)^{2}+(z-3)^{2}=9\]
Si desarrollamos los cuadrados de la fórmula que tenemos:
\[x^{2}-6 x+9+y^{2}-4 y+4+z^{2}-8 z+16=9\]
\[x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 x-4 y-8 z+20=0\]
Ya sabemos caracterizar una superficie esférica con las dos expresiones siguientes:
Siendo \(\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\) las coordenadas del centro de la esfera, \(\rho\) el radio de la esfera y \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) constantes.
Si el ejercicio nos da la ecuación general y nos pide hallar la reducida, simplemente tenemos que completar los cuadrados.
Ya sabemos como caracterizar una esfera, pero ¿y si queremos saber si un punto pertenece a la esfera? ¿O, si una recta pasa por la esfera?
Posición Relativa de un Punto y Superficie Esférica
Por ejemplo, si tenemos la esfera anterior
\[(x+3)^{2}+(y+1)^{2}+(z-3)^{2}=9\]
Y si queremos saber cuál es la posición relativa de la esfera con el punto \(P=(-2,-1,2)\), ¿qué hacemos?
Un punto tiene dos posiciones relativas:
\(\bullet\) Interior: esto sucede si la distancia entre el punto \(P\) y el centro \(C\) de la esfera es menor que el radio \(d(P, C)<\rho\).
\(\bullet\) Exterior: si ocurre lo contrario, es decir, \(d(P, C)>\rho\) el punto no pertenece a la esfera.
En estos casos siempre vamos a calcular la distancia entre el punto \(P\) y el centro \(C\) de la esfera. En este caso, \(C=(-3,-1,3)\), entonces, por la fórmula de la distancia entre los puntos:
\[d(P, C)=\sqrt{(-2-(-3))^{2}+(-1-(-1))^{2}+(2-3)^{2}}\]
\[d(P, C)=\sqrt{1^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}\]
Sabiendo que el radio es \(\rho=\sqrt{9}=3\), tenemos que \(d(P, C)<\rho\). Por tanto, el punto \(P\) es interior a la esfera.
Intersección y Posición Relativa de una Recta y Superficie Esférica
Vamos a hablar sobre la recta relacionada a una superficie esférica.
Por ejemplo, la esfera de ecuación \((x+3)^{2}+(y+1)^{2}+(z-3)^{2}=9\).
Si tenemos la recta \(r\): \(X=(-3,-1,3)+\lambda(3,5,4)\).
Si calculamos la distancia de esta recta al centro de la esfera obtendremos una distancia menor que el radio. ¿Qué significa eso?
Significa que la recta \(r\) será secante a la esfera porque la distancia de esta al centro será menor que radio.
Cuando analizamos la posición relativa e intersecciones vemos que las dos están relacionadas. ¿Pero cómo?
Vamos a analizar los siguientes casos, suponiendo que \(r\) es una recta y \(S\) una superficie esférica de centro \(C\) y radio \(\rho\):
\(\bullet\) Si \(d(C, r)>\rho\), entonces significa que la recta \(r\) no pasa por la superficie esférica, por tanto, no tenemos intersección \(r \cap S=\emptyset\). Su gráfico corresponde al imagen \(a)\).
\(\bullet\) Si \(d(C, r)=\rho\), entonces la intersección entre la recta y la esfera es único punto. Siendo dicho punto la proyección ortogonal de \(C\) sobre \(r\) como se aprecia en la imagen \(b)\).
\(\bullet\) Si \(d(C, r)<\rho\) entonces la intersección entre la recta y la esfera es formada por dos puntos distintos, \(A\) y \(B\), siendo el punto medio entre estos dos el que representa la proyección del punto \(C\) sobre la recta \(r\). Imagen \(c)\)
En el caso de la figura \(b)\), la recta \(r\) es llamada “recta tangente” a la superficie esférica. Siendo \(T\) el punto de tangencia, es decir, el único punto en que la recta \(r\) y la superficie se tocan.
En el caso de \(c)\), la recta \(r\) es llamada “secante”, porque tiene dos puntos distintos de intersección con la esfera.
Ya vimos las posiciones relativas e intersecciones. Cabe destacar que, como habrás notado, para hacer los análisis debemos calcular la distancia entre el punto y la recta. Si no recuerdas cómo hacerlo no dudes en pasar por el tema “Distancia entre Puntos”.
Intersección y Posición Relativa del Plano y Superficie Esférica
El razonamiento es el mismo que para las rectas, vamos a comparar el radio con la distancia del plano al centro de la esfera, Entonces, considerando el plano \(\pi\) y una superficie esférica \(S\) con centro \(C\) y radio \(\rho\), tendremos los siguientes casos:
\(\bullet\) Si \(d(C, \pi)>\rho\), significa que el plano y la esfera no se tocan, por tanto, la intersección entre ellos es nula \(\pi \cap S=\emptyset\) (Imagen \(a)\).
\(\bullet\) Si \(d(C, \pi)=\rho\), entonces el plano y la esfera se encuentran en un solo punto, siendo este la proyección del centro de la esfera en el plano. (Imagen \(b)\).
\(\bullet\) Si \(d(C, \pi)<\rho\), entonces la intersección será una circunferencia de radio \(\sigma=\sqrt{\rho^{2}-d^{2}(C, \pi)}\), contenida en \(\pi\), cuyo centro de la circunferencia es la proyección ortogonal de \(C\) sobre \(\pi\) (Imagen \(c)\)
En la imagen \(b)\) el punto \(T\) es llamado “punto de tangencia” entre la esfera y el plano \(\pi\).Y en este caso, \(\pi\) puede ser llamado “plano tangente” a la esfera. En la imagen \(c)\) el plano \(\pi\) es llamado “plano secante”.
Intersección y Posición Relativa de Superficies Esféricas
Vamos a suponer dos esferas distintas con \(C_{1}\) y \(\rho_{1}\), y \(C_{2}\) y \(\rho_{2}\), respectivamente. Tenemos tres posibilidades para la posición relativa:
\(\bullet\) \(S_{1} \cap S_{2}\) es una circunferencia. Entonces, decimos que \(S_{1}\) y \(S_{2}\) son SECANTES.
\(\bullet\) \(S_{1} \cap S_{2}=\emptyset\). \(S_{1}\) y \(S_{2}\) son DISJUNTAS.
\(\bullet\) \(S_{1} \cap S_{2}\) es un solo punto \(T\). \(S_{1}\) y \(S_{2}\) son TANGENTES.
Para facilitar el tema de las intersecciones vamos a suponer un plano \(\pi\) que será perpendicular al vector formado por los centros de las esferas \(\overrightarrow{C_{1} C_{2}}\). En el siguiente gráfico tenemos las posibilidades:
Entonces, para obtener la intersección \(S_{1} \cap S_{2}\) podemos trabajar con una de las superficies y el plano \(\pi\), ignorado la otra. Si escogemos trabajar con \(S_{2}\), tenemos:
Entonces, para obtener la intersección \(S_{1} \cap S_{2}\) podemos trabajar con una de las superficies y el plano \(\pi\), ignorado la otra. Si escogemos trabajar con \(S_{2}\), tenemos:
\(\bullet\) \(S_{1}\) y \(S_{2}\) son SECANTES si \(d\left(C_{2}, \pi\right)<\rho_{2}\)
\(\bullet\) \(S_{1}\) y \(S_{2}\) son TANGENTES si \(d\left(C_{2}, \pi\right)=\rho_{2}\)
\(\bullet\) \(S_{1}\) y \(S_{2}\) son DISJUNTAS si \(d\left(C_{2}, \pi\right)>\rho_{2}\).
¿Y cómo encontramos el plano \(\pi\)? Para ser honesto, no siempre encontrar ese plano es una tarea sencilla. Para eso tenemos una fórmula. Considerando \(\rho_{1} \leq \rho_{2}\):
\[d\left(C_{2}, \pi\right)=\rho_{2}+\frac{\left(\rho_{2}+\rho_{1}-d\left(C_{1}, C_{2}\right)\right)\left(\rho_{2}-\rho_{1}-d\left(C_{1}, C_{2}\right)\right)}{2 d\left(C_{1}, C_{2}\right)}\]
Para terminar, veremos que dos superficies disjuntas o tangentes tienen dos posibilidades como se muestra en la imagen, es decir:
TANGENTE
\(\bullet\) Tangentes internamente: si todos los puntos de una de las superficies, distinto de \(T\), es interior a la otra.
\(\bullet\) Tangente externas: si todos los puntos de una de las superficies, distinto de \(T\), es exterior a la otra.
DISJUNTA
\(\bullet\) Disjuntas internamente: una de las esferas es interior a la otra.
\(\bullet\) Disjuntas exteriormente: cada una de las esferas es exterior a la otra.
¡Y eso es todo amigos, no olviden practicar en los ejercicios!
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