Superficies Cuádricas

Introducción

¿Alguna vez has pensado cómo se hacen los vidrios de formas curvadas?

Para producir en masa estos vasos, las grandes empresas utilizan como base del proceso de creación de los moldes de estos vidrios las cuádricas.

Las cuádricas son figuras tridimensionales que están presentes en la vida cotidiana. Los cuerpos curvos, en general, son cuádricas, pero algunas destacan por sus características matemáticas.

A continuación vamos a generalizar las cuádricas.

Superficies Cuádricas

Mira el siguiente gráfico:

La imagen muestra varios tipos de cuádricas. Algunas de estás recuerdan parábolas, elipses e hipérbolas pero no te confundas. Las parábolas, elipses e hipérbolas son cónicas. Existe una cierta relación entre las cuádricas y las cónicas; pero las cónicas se tratan de formas en plano (\(2\) dimensiones) y las cuádricas en el espacio (\(3\) dimensiones).

Vamos a utilizar la ecuación general de las cuádricas para analizarlas:

\[a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+d x y+e x z+f y z+g x+h y+i z+j=0\]

Todas las cónicas pueden ser escritas a través de dicha ecuación. Para tener una cuádrica uno de los coeficientes \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) o \(f\) debe ser diferente de cero. Por ejemplo, algunos ejemplos de cuádricas que veremos más adelante:

\[y^{2}-4 y+z^{2}+3 z-1=0\]

\[-x^{2}-x+y^{2}+3 y+z^{2}-5 z-\frac{71}{16}=0\]

A continuación veremos algunas cuádricas especiales que son variaciones de la expresión general anterior.

ELIPSOIDE:

El ejemplo por excelencia del elipsoide es el huevo. La aproximación de la forma irregular de la Tierra también es un elipsoide.

Es descrito por la siguiente ecuación:

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\]

Esta ecuación es llamada “ecuación reducida del elipsoide”

Ejemplo de un elipsoide:

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA:

Las torres de enfriamiento de las centrales nucleares tienen forma de hiperboloide de una hoja. Así como la Catedral de Brasilia.

La ecuación es parecida a la del elipsoide. La diferencia es la presencia de UN signo negativo en uno de los términos cuadráticos.

\[-\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \space \text { o }  \space \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \space \text { o } \space \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\]

El gráfico del hiperboloide de una hoja es:

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS:

Los hiperboloides de dos hojas son usados en radiotelescopios y telescopios reflectores.

La ecuación tiene dos signos negativos.

\[-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \space \text { o } \space \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \space \text { o } \space-\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\]

El gráfico es:

El hiperboloide de dos hojas, es como una hipérbola rotada.

NOTA: para confundir el hiperboloide de una hoja con el de dos hojas recuerda que: DOS hojas es igual a DOS signos negativos, mientras que el de UNA hoja tiene UN signo negativo.

PARABOLOIDE ELÍPTICO:

Su forma se asemeja a la de una red de pescar:

La posibles ecuaciones son:

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=c z \space \text { o } \space \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=b y \space \text { o } \space \frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=a x\]

Considerando \(a \neq b\) tenemos el paraboloide elíptico. Si \(a=b\), tendremos un paraboloide de rotación.

El gráfico de esta cuádrica es:

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO:

Tiene forma de silla de montar:

Los términos cuadráticos tienen signos opuestos:

\[-\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=c z \space \text { o } \space -\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=b y \space \text { o } \space -\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=a x\]

El gráfico del paraboloide hiperbólico es el siguiente:

Consejo: para saber si se trata de un paraboloide hiperbólico o elíptico debemos buscar los términos cuadráticos. Si todos los términos cuadráticos son positivos tendríamos una elipse, por tanto, será un paraboloide elíptico. Si tiene un término cuadrático negativo, se parecerá a la ecuación de una hipérbola, por tanto, será un paraboloide hiperbólico.

CILINDRO ELÍPTICO:

Tiene la forma de un cilindro aplanado porque, en lugar de tener una base circular, es elíptica. Posee una de las siguientes ecuaciones reducidas.

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \space \text { o } \space \frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \space \text { o } \space \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\]

CILINDRO HIPERBÓLICO:

Si imaginas una hipérbola en \(3D\), probablemente estarás pensando en un cilindro hiperbólico.

Tiene una de las siguientes ecuaciones reducidas:

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \space \text { o }\space \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \space \text { o }\space \frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1 \space \text { o }\space \frac{z^{2}}{c^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1\]

\[\text { o } \space \frac{z^{2}}{c^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \space \text { o } \space  \frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\]

Su gráfico es:

CILINDRO PARABÓLICO:

Si imaginas una parábola en \(3D\), estarás pensando en un cilindro parabólico.

La ecuación reducida es:

\[z=a x^{2} \space \text { o }\space z=b y^{2} \space \text { o } \space y=a x^{2} \space \text { o } \space y=c z^{2} \space \text { o } \space x=b y^{2} \space \text { o } \space x=c z^{2}\]

CONO ELÍPTICO:

Tiene forma de reloj de arena:

Las posibles ecuaciones reducidas son:

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=0 \space \text { o } \space -\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=0 \space \text { o } \space \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=0\]

Traza de una superficie cuádrica

¿Recuerdas el elipsoide?

En este gráfico el eje \(z\) es el azul. Imagina que miramos el elipsoide desde arriba, es decir, anulando el eje \(z\):

Es una elipse, ¿verdad?

Algebraicamente, vamos a eliminar la coordenada \(z\) en la ecuación. La ecuación de la elipsoide era:

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\]

Eliminando la coordenada \(z\), tenemos:

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]

También obtenemos la ecuación de una elipse. Una elipse en el plano \(xy\). Y así para los otros planos. Cuando eliminamos una de las coordenadas y analizamos su forma para cada uno de los planos estamos analizando la traza de la cuádrica.

Podemos hacer esto con todas las cuádricas, dependiendo de la traza y de la cuádrica que analicemos, podemos obtener: cónicas, rectas, puntas, conjuntos vacíos… Existen varias posibilidades.

¡Y eso es todo amigos, no olviden practicar en la sección de ejercicios!