Parametrización de Curvas
Introducción
¡Bienvenidos, espero que estén genial! En esta ocasión, vamos a aprender un tema totalmente nuevo, las integrales de línea, sin embargo, debemos reforzar algunos conceptos esenciales antes de comenzar.
En ocasiones, para resolver ejercicios de integrales de línea tenemos que parametrizar curvas, por tanto, es importante aprender cómo se hace.
Por ejemplo: ¿cómo podemos parametrizar una circunferencia \(x^{2}+y^{2}=1\)? Tenemos una ecuación, pero de dos variables ¿cierto? Luego de parametrizar la circunferencia, solamente obtendremos un parámetro. En este caso sería:
\[x(t)=\cos t\]
\[y(t)=\operatorname{sen} t\]
\[0 \leq t \leq 2 \pi\]
Ten en cuenta que, para cada valor de \(t\), caímos en un punto que pertenece a la circunferencia original.
\[t=0 \rightarrow x=1, y=0\]
\[t=\frac{\pi}{4} \rightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2}, y=\frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[t=\frac{\pi}{2} \rightarrow x=0, y=1\]
\[t=\frac{3 \pi}{4} \rightarrow x=-\frac{\sqrt{2}}{2}, y=\frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[t=\pi \rightarrow x=-1, y=0\]
De esta forma, si juntamos todos los puntos de \(0\) a \(2 \pi\) formamos una curva entera inicial.
Entonces, tenemos que la parametrización es definir los valores de \(x, y\) y \(z\) de forma independiente y en un función de un único parámetro (también puede ser llamado variable).
Cabe decir que toda curva puede ser parametrizada de infinitas maneras. Es decir, el exámen siempre te dará una posible parametrización, sin embargo, si la que creaste representa la misma curva ambas respuestas serán correctas.
Por ejemplo:
\[r(t)=(t, t), 0 \leq t \leq 2\]
\[r(t)=(2 t, 2 t), 0 \leq t \leq 1\]
Estas dos parametrizaciones representan la misma recta \(x=y, 0 \leq x \leq 2\), y ambas son correctas.
A continuación veremos los tipos de parametrización más comunes: rectas, circunferencias, elipses y explícita.
Curvas Clásicas
Rectas: imagina que tenemos una recta que pasa por el punto \((2,3,1)\) y su vector dirección es \(\vec{V}=(1,3,1)\). Su parametrización puede ser dada por:
\[r(t)=(2+t, 3+3 t, 1+t)\]
Generalizando: podemos parametrizar cualquier recta sabiendo su vector dirección \(\vec{V}=(a,b,c)\) y cualquier punto perteneciente a ella \(P_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\)
\[x(t)=x_{0}+a t\]
\[y(t)=y_{0}+b t\]
\[z(t)=z_{0}+c t\]
\[r(t)=\left(x_{0}+a t, y_{0}+b t, z_{0}+c t\right)\]
\[-\infty<t<+\infty\]
Los límites de la recta son infinitos, por suerte casi nunca trabajamos con rectas pero si con segmentos de las mismas, por tanto, tendremos límites \(t_{\text {inicial}} \leq t \leq t_{\text {final}}\) finitos y determinados.
Circunferencia/Elipse: imagina que tienes que parametrizar esta elipse:
\[\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\]
Tendríamos la siguiente parametrización:
\[x(t)=2 \cos (t)\]
\[y(t)=3 \operatorname{sen}(t)\]
\[0 \leq t \leq 2 \pi\]
Generalizando: la elipse es dada por la ecuación
\[\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}=1\]
Esta será parametrizada por la relación fundamental trigonométrica \(\cos^{2} t+ \operatorname {sen}^{2}=1\)
\[\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}=\cos ^{2} t\]
\[\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}=\operatorname{sen}^{2} t\]
\[x(t)=x_{0}+a \cos t\]
\[y(t)=y_{0}+b \operatorname{sen} t\]
\[0 \leq t \leq 2 \pi\]
La circunferencia será el caso en que \(a=b=r\), donde \(r\) es el radio de la propia circunferencia, la ecuación también puede ser escrita de esta forma
\[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}\]
Su parametrización, por el mismo motivo, es dada por:
\[x(t)=x_{0}+r \cos t\]
\[y(t)=y_{0}+r \operatorname{sen} t\]
\[0 \leq t \leq 2 \pi\]
Parametrización explícita: se utiliza para parametrizar una curva que se encuentra en un plano (es decir, una curva de dos coordenadas). En esta, escribimos una variable en función de otra, lo que facilita la operación. Mira esta parábola:
\[y=4-x^{2}\]
Observa que \(y\), en la propia ecuación de la parábola, está escrita en términos de \(x\). En estos casos simplemente decimos que
\[x=x\]
\[y=4-x^{2}\]
\[C(x)=\left(x, 4-x^{2}\right)\]
¿Puedes ver que, a fin de cuentas, solo tenemos un parámetro? En esta caso la letra es \(x\), sin embargo, podemos asignar al parámetro la letra que queramos.
Hipérbola: la hipérbola es dada por la ecuación
\[\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}-\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}=1\]
Esta va a ser parametrizada por la relación trigonométrica \(\cosh ^{2}(t)-\operatorname{senh}^{2}(t)=1\)
Entonces la rama de la hipérbola situada en \(x>0\) es:
\[x(t)=a \cosh (t)+x_{0}\]
\[y(t)=b \sinh (t)+y_{0}\]
\[-\infty<t<+\infty\]
Y la rama situada en \(x>0\):
\[x(t)=b \sinh (t)+y_{0}\]
\[-\infty<t<+\infty\]
Vale la pena recordar que \(y\) quedó con \(\sinh (t)\) porque era negativa. Si \(x\) tuviera el signo negativo la parametrización cambia.
Intersección de Superficies
Ya vimos cómo parametrizar todas aquellas curvas básicas, sin embargo, en algunos casos las curvas no serán tan simples como esas. Algunos ejercicios nos piden parametrizar intersecciones de superficies, por tanto, debemos aprender a realizar este tipo de parametrizaciones.
Siempre recuerda el principio básico de la parametrización: debemos escribir \(x, y\) y \(z\) en función de un único parámetro. Veamos un ejemplo para entender todo mejor.
Ejemplo: encuentra una parametrización de la curva \(C\) resultante de la intersección del cilindro \(z=1-x^{2}\) con el plano \(x+y+z=1\) desde el punto \((1,0,0)\) hasta \((2,2,-3)\)
Primero vamos a graficar estas superficies para tener una noción de la curva que curva parametrizar.
Obs: el paso anterior no siempre es necesario, pero en muchos casos este nos ayuda a entender el enunciado, es decisión de cada uno hacerlo o no. Personalmente, aconsejamos hacerlo, principalmente en los primeros ejercicios de este tipo.
La curva de intersección de las superficies es esta:
Una vez trazada la curva, tenemos que analizar las ecuaciones del enunciado y, de alguna forma, eliminar las variables, dejando todo en una sola función.
Las ecuaciones del ejemplo son
\[x+y+z=1\]
\[z=1-x^{2}\]
Observa que \(z\) está escrita en función de \(x\). Si también conseguimos escribir \(y\) en función de \(x\) tendremos una curva parametrizada de forma explícita. Intentaremos hacerlo con la primera ecuación
\[y=1-x-z\]
Pero sabemos que \(z=1-x^{2}\), por tanto
\[y=1-x-\left(1-x^{2}\right)\]
\[y=1-x-1+x^{2}\]
\[y=x^{2}-x\]
¡Parametrizamos la curva! Pero falta un detalle, el enunciado dice que solamente quiere el pedazo comprendido entre \((1,0,0)\) y \((2,2,-3)\). Entonces, debemos definir los límites del parámetro \(x\).
Para hacerlo necesitamos partir de alguna de las variables ya parametrizadas, de la cual sepamos el valor de comienzo y final del parámetro. En este caso, los puntos que el enunciado dió, \(x\) va de \(1\) a \(2\), podemos decir que
\[1 \leq x \leq 2\]
Ahora todo está listo
\[x=x\]
\[y=x^{2}-x\]
\[z=1-x^{2}\]
\[1 \leq x \leq 2\]
\[(1,0,0)\]
\[(2,2,-3)\]
Para finalizar, otro detalle importante sobre las curvas, siempre que definimos los límites de integración del parámetro, también definimos una orientación de la curva, o sea, cuando decimos que \(1 \leq x \leq 2\), necesariamente la recta tiene este sentido geométrico:
Si quisiéramos otro sentido, debemos parametrizar de otra forma. Por ejemplo, el sentido inverso de esa curva sería parametrizado por
\[x=-t\]
\[y=t^{2}+t\]
\[z=1-t^{2}\]
\[-2 \leq t \leq-1\]
Ten mucho cuidado con la orientación de la curva. Puede parecer solamente un signo menos, pero en realidad todo cambia, y puede hacerte una mala jugada en el exámen.
¡Vamos a los ejercicios!
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