Caso Escalar R3

Caso escalar \(\mathrm{R}^{3}\)

Vamos a traer todos los conocimientos del tema anterior a tres dimensiones \(\mathrm{R}^{3}\). El paso a paso para resolver los ejercicios es el mismo, pero la diferencias son estas

Tendremos que parametrizar \(x, y\) y \(z\), no solo \(x\) y \(z\), con eso

\[\sigma (t) = (x(t), y(t), z(t))\]

Como consecuencia de esto, el término \(ds\) será calculado así

\[d s=\left\|\sigma^{\prime}(t)\right\| d t=\sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2}} d t\]

Y eso todo, no es complicado, solo debes seguir los mismos pasos que para \(\mathrm{R}^{2}\). Sin embargo, lo más “difícil” de este tipo de cuestiones son las parametrizaciones de curvas. Veamos un ejemplo

Si nos pidieran calcular \(\int f d s\) donde \(f (x,y,z) = x + y\) y \(\gamma\) es la intersección de \(z= x^{2}+y^{2}\), donde  \(z \leq 2,\), con \(x=y\) donde \(0 \leq y\), debemos hacer lo siguiente:

Paso 1: armar el problema 

Vamos a utilizar la fórmula 

\[\int_{C} f(x, y, z) d s\]

Donde \(f (x,y,z) = x + y\) y

\[\left\|\vec{\sigma}^{\prime}(t)\right\|=\sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2}}\]

Pero aún no sabemos mucho, así que las hallaremos una a una.

Paso 2: encontrar la parametrización de la curva

Vamos a usar los datos que nos dió el problema. La intersección está entre:

\(z=x^{2}+y^{2},\) donde \(z \leq 2\)

\(x=y,\) donde \(0 \leq y\)

Aquí podemos hacer una parametrización explícita:

\[x=t\]

\[y=x=t\]

\[z=t^{2}+t^{2}= 2t^{2}\]

Entonces, la parametrización para la curva nueva sería 

\[\vec{\sigma}=\left(t, t, 2 t^{2}\right)\]

Necesitamos el intervalo del parámetro.

Esto lo sacamos de los datos que faltan, \(z \leq 2\) y \(y \geq 0\).

Bien, si \(z \leq 2\), podemos decir que \(2t^{2} \leq 2\), lo que nos da \(t^{2} \leq 1,\) \(-1 \leq t \leq 1 \).

Si \(y \geq 0\), tenemos que \(t \geq 0\).

La intersección entre estos dos intervalos nos da que \(0 \leq t \leq 1\).

Paso 3: calcular \(\left\|\vec{\sigma}^{\prime}\right\|\)

\[\frac{d x}{d t}=1, \frac{d y}{d t}=1, \frac{d z}{d t}=4 t\]

Primero tenemos que derivar la parametrización 

\[\|\vec{\sigma}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+(4 t)^{2}}=\sqrt{16 t^{2}+2}\]

Ahora tomamos la fórmula:

\[\left\|\vec{\sigma}^{\prime}\right\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+(4 t)^{2}}=\sqrt{16 t^{2}+2}\]

Paso 4: sustituir todo en la integral y escribir \(f\) en función de \(t\).

\[f(x, y, z)=x+y\]

Pasa a ser

\[x+y=2 t\]

Obtenemos la integral 

\[\int f d s=\int_{0}^{1} 2 t \sqrt{16 t^{2}+2} d t\]

¿Qué te parece si resuelves la integral por ti mismo/a? ¡Así aprendes más! 

¡Vamos a los ejercicios!