Caso vectorial R2

Introducción

¡Bienvenidos, espero que estén bien!

Primero que nada, vamos a explicar el motivo para definir este tipo de integral. ¿Recuerdas cuando aprendiste a calcular el trabajo de una fuerza? Lo calculamos de la siguiente manera \(W=F \cdot d\), siendo \(F\) la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento rectilíneo \(d\). Todo bien, todo correcto. 

Ahora, digamos que \(F\) no sea constante en todos los puntos, que sea dada por la función \(F (x,y)\).

Primero, debemos entender la función \(F (x,y)\).

Si vemos a \(F (x,y)\) como una fuerza, esta tendrá dos componentes, por ejemplo

\[F (x,y) = (2x, 3y)\]

Cuando tenemos una función de este tipo, donde tenga las componentes, será  llamado campo vectorial, eso es todo lo que necesitamos saber :D

Ya sabemos de qué se trata la fuerza, entonces veamos el trabajo. ¿Si tenemos una curva complicada? ¿Cómo hallamos el trabajo? La fórmula no nos va a funcionar.

Vamos a suponer que tenemos una curva parametrizada por \(\vec\sigma = \bigg (x(t), y\big(t\big)\bigg)\) , que dividiremos en subarcos. Cuando esos sub-arcos son pequeños, la dirección de desplazamiento es aproximadamente el vector tangente a la curva, ¿verdad? El vector unitario tangente a la curva es dado por

\[\frac {\vec \sigma^{\prime} \bigg(t\bigg)}{||\vec \sigma^{\prime}(t)||} \]

El vector desplazamiento es dado, entonces, por la longitud de dicho sub-arco \(\Delta s\) multiplicado por el vector unitario tangente a la curva, lo que nos da:

\[\frac{\vec{\sigma}^{\prime}(t)}{\left\|\vec{\sigma}^{\prime}(t)\right\|} \Delta s\]

Entonces, el trabajo realizado por \(F\) en dicho sub-arco será dado por:

\[F(x(t), y(t)) \cdot \frac{\vec{\sigma}^{\prime}(t)}{\left\|\vec{\sigma}^{\prime}(t)\right\|} \Delta s\]

Sumando el trabajo en cada uno de esos sub-arcos, tenemos que el trabajo sobre la curva será dado por:

\[\sum_{i=1}^{n} F\left(x\left(t_{i}\right), y\left(t_{i}\right)\right) \cdot \frac{\vec{\sigma}^{\prime}\left(t_{i}\right)}{\left\|\vec{\sigma}^{\prime}\left(t_{i}\right)\right\|} \Delta s\]

¿Cierto? Si tomamos el límite de esa expresión cuando \(n\) tiende al infinito, tendremos la siguiente integral:

\[W=\int_{C} F(x(t), y(t)) \cdot \frac{\vec{\sigma}^{\prime}(t)}{\left\|\vec{\sigma}^{\prime}(t)\right\|} d s\]

En realidad, esa no es la fórmula que utilizarás. Existe una más simple, veamos como es en la práctica. 

Definición

Para restar \(ds\) que está en la fórmula, nos aprovecharemos de unos conceptos de física para recordar que el módulo de la velocidad puede ser dado por:

\[v=\frac {ds}{dt}\]

Y entonces:

\[ds=vdt\]

Pero la velocidad puede ser interpretada como el vector tangente a la curva, y entonces, al final:

\[ds=||\vec \sigma (t)||dt\]

Por tanto, aquella fórmula que teníamos anteriormente será:

\[W=\int_{a}^{b} F(x(t), y(t)) \cdot \frac{\vec{\sigma}^{\prime}(t)}{\left\|\vec{\sigma}^{\prime}(t)\right\|}\left\|\vec{\sigma}^{\prime}(t)\right\| d t\]

\[W=\int_{a}^{b} F(x(t), y(t)) \cdot \vec{\sigma}^{\prime}(t) d t\]

Ten en cuenta que escribimos el campo vectorial \(F\) en función del parámetro \(t\). Observa también que tenemos el producto escalar entre dos vectores, lo que nos dará un número.

Esa es la integral de línea del campo vectorial \(F\) a lo largo de la curva parametrizada por \(\vec \sigma (t)\).

La integral de línea no se limite solo para el cálculo del trabajo de una fuerza.

Podemos usar la integral de línea para el cálculo del flujo de un fluido.Las cuentas son exactamente las mismas, solo que el nombre cambia, así que no te preocupes. 

Si te pide la circulación, no te preocupes, la circulación no es más que el flujo de un fluido en una curva cerrada. La cuenta es la misma de antes.

Notación

La integral de línea en un campo vectorial puede ser escrita de esta forma:

\[\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}\]

O también así: 

\[\int_{C} F_{1} d x+F_{2} d y\]

Donde \(\vec {F} = \bigg (F_{1}, F_{2} \bigg )\). Esta representación, que separa las componentes del vector \(\vec {F}\) también es ampliamente utilizada, pero a fin de cuentas todo resulta igual, no te preocupes.

Para curvas cerradas, es decir, curvas que tienen un punto final igual al inicial, también tenemos la notación:

\[\oint_{C} F \bullet d r o u \oint_{C} F_{1} d x+F_{2} d y\]

Con esa bolita en medio. En realidad no hace diferencia alguna, solo sirve para indicar de forma explícita que la curva \(C\) está cerrada. 

Orientación

Algo de lo cual tienes que estar atento cuando hacemos un integral de línea vectorial es que, en la hora de parametrizar la curva, veremos que esta tiene una “dirección”:

Por ejemplo, al principio podíamos hallar que las curvas:

\[C_{1}: \vec{\sigma}=(t, 0), 0 \leq t \leq 2\]

\[C_{2}: \vec{\sigma}=(-t, 0),-2 \leq t \leq 0\]

Son iguales, ya que las dos son rectas que conectan los puntos \((0,0)\) y \((2,0)\).

Pero es importante saber identificar la diferencia, ya que \(C_{1}\) tiene punto inicial \((0,0)\) y el punto final \((2,0)\), mientras que \(C_{2}\) es lo contrario, tiene inicio en \((2,0)\) y final en \((0,0)\).

Esa “dirección” que tiene la curva es llamada orientación de la curva.

Es decir, la misma recta o curva puede tener dos sentidos diferentes, de forma que:

\[\int_{C_{1}} F \bullet d r=-\int_{C_{2}} F \bullet d r\]

 Por tal motivo, utilizamos la notación \(C_{2} = C^{-}_{1}\), con el símbolo de negativo arriba, para denotar que una es el negativo de la otra.

Para curvas cerradas, cuyo punto final e inicial son iguales, decimos que cuando la curva es recorrida en sentido antihorario, esta tiene una orientación positiva, mientras que en sentido horario tiene orientación negativa.

Veamos un ejemplo para ver los pasos a seguir.

Ejemplo

Determine el trabajo hecho por el campo de fuerza \(F(x,y) = (2x, 3y)\) a lo largo de una curva parametrizada por \(\vec {F} = \bigg (F_{1}, F_{2} \bigg )\), con \(0 \leq t \leq 1\).

Paso 1: armar la integral

\[W=\int_{C} F(x, y) \cdot d r=\int_{a}^{b} F(x(t), y(t)) \cdot \vec{\sigma}^{\prime}(t) d t\]

Por el propio enunciado, ya tenemos que \(a=0\)  y \(b=1\).

La parametrización de la curva nos da que \(x= 2t\) y \(y=t^{2}\), por el propio enunciado.

Paso 2: calcular \(\vec \sigma ^{\prime} (t)\)

Derivando la parametrización, tenemos

\[\vec{\sigma}(\mathrm{t})=\left(\frac{\mathrm{d}(2 \mathrm{t})}{\mathrm{dt}}, \frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{t}^{2}\right)}{\mathrm{dt}}\right)=(2,2 \mathrm{t})\]

Paso 3: sustituir \(\vec \sigma ^{\prime} (t)\) en la integral y escribirla en función del parámetro \(t\)

Recuerda que la función vectorial \(F(x, y) = (2x, 3y)\) debe ser escrita obedeciendo las definiciones de parametrización de curvas: \(x=2t\) y \(y=t^{2}\).

\[\int_{0}^{1}\left(2(2 t), 3\left(t^{2}\right)\right) \cdot(2,2 \mathrm{t}) d t=\]

\[=\int_{0}^{1}\left(4 t, 3 t^{2}\right) \cdot(2,2 t) d t=\]

¿Recuerdas cómo hacer el producto escalar? Es simple, multiplicas el \(1^{er}\) término del primer vector con el \(1^{er}\) término del segundo y el \(2^{do}\) término del primer vector con el \(2^{do}\) del segundo y sumamos los valores, de esta forma:

\[=\int_{0}^{1} 8 \mathrm{t}+6 \mathrm{t}^{3} d t=\]

Paso 4: calcular la integral

\[=\frac{8 t^{2}}{2}+\left.\frac{6 t^{4}}{4}\right|_{0} ^{1}=\]

\[4+\frac{3}{2}=\]

\[\frac{11}{2}\]

¡Vamos a los ejercicios!