Curvas abiertas

Teorema de Green para curvas abiertas

¿Cómo harías esta integral? Donde \(C\) es la mitad superior de la circunferencia de radio \(1\) y centro en el origen que va de \((1,0)\) hasta \((-1,0)\)

\[\int_{C}\left(-y+e^{x}\right) d x+\left(e^{y^{2}} \ln \left(1+y^{2}\right)\right) d y\]

No te preocupes, es prácticamente imposible hacerla con la definición normal de la integral de línea. Pero échale un vistazo al término \(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\) del campo.

Parece fácil utilizar el teorema de Green en este caso. Sin embargo, el problema es que la curva está abierta, ¿cómo resolvemos esto?

El truco aquí es cerrar la curva con otra curva \(C_{1}\) simple de integrar (de preferencia una recta que sea constante en \(x\) o \(y\)). Observa cómo queda la curva \(C\) si la cerramos con la recta que une sus ambos extremos.

“¿Pero podemos hacer eso? ¿No va a cambiar el resultado de la integral?”

Para usar este truco, vamos a tener que "corregir" el valor de la integral, el teorema de Green dice lo siguiente:

\[\oint_{\partial D} \vec{F} d r=\iint_{D}\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right) d x d y\]

Para curvas abiertas, vamos a considerar \(\partial D=C \cup C_{1}\), de tal forma

\[\int_{C} \vec{F} d r+\int_{C_{1}} \vec{F} d r=\iint_{D}\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right) d x d y\]

Es decir, podemos calcular una integral de línea compleja, o casi imposible, con una integral de línea y una integral doble simple.

Un detalle importante: recuerda que, al agregar una nueva curva, tenemos que asegurar que la curva cerrada tenga orientación positiva para aplicar el teorema. 

De vuelta al problema

Volviendo a la integral de línea compleja, veamos su resultado. La curva \(C_{1}\) que usamos para cerrar \(C\) es esta recta:

\[C_{1}=(t, 0),-1 \leq t \leq 1\]

Por tanto, el teorema de Green queda así

\[\int_{C} \vec{F} \bullet d r+\int_{C_{1}} \vec{F} \bullet d r=\iint_{D}\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right) d x d y\]

\[\int_{C} \vec{F} \bullet d r+\int_{C_{1}} \vec{F} \bullet d r=\iint_{D} 1 d x d y= \text { Area de D}\]

\[\quad \int_{C} \vec{F} \bullet d r= \text { Area de D}-\int_{C_{1}} \vec{F} \bullet d r\]

La integral de línea queda así

\[C_{1}=(t, 0),-1 \leq t \leq 1\]

\[d x=1\]

\[d y=0\]

\[\int_{C_{1}}\left(-y+e^{x}\right) d x+\left(e^{y^{2}} \ln \left(1+y^{2}\right)\right) d y=\int_{-1}^{1} e^{t} d t\]

\[=e-e^{-1}\]

El área de la región \(D\) es la mitad del área del círculo de radio \(1\), por tanto:

\[\text {Area de D}=\frac{\pi r^{2}}{2}=\frac{\pi}{2}\]

Juntando todo eso

\[\int_{C} \vec{F} \bullet d r= \text { Area de D}-\int_{C_{1}} \vec{F} \cdot d r\]

\[\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}=\frac{\pi}{2}-\left(e-e^{-1}\right)\]

Para resumir el paso a paso:

Paso 1: armar el problema

Paso 2: cerrar la curva

Paso 3: calcular la integral doble

Paso 4: calcular la integral de línea de la curva \(C_{1}\)

Paso 5: juntar todo en el teorema de Green

¡Vamos a los ejercicios, en donde tenemos muchas actividades para ti!