Caso vectorial R3

Introducción

Sabemos que para calcular el trabajo de una fuerza \(\vec{F}(x, y)\)  en una curva \(C\) en el plano, podemos hacer:

\[\int_{a}^{b} \vec{F} \cdot d r=\int_{a}^{b} F(x(t), y(t)) \bullet \vec{\sigma}^{\prime}(t) d t\]

Donde \(\vec {F}\) es un campo vectorial en la forma \(vec \space {F}=\left(F_{1}, F_{2}\right)\) y  \(\vec{\sigma}^{\prime}(t)\) es el vector tangente a la curva parametrizada en \(t\). Y los que calculamos es la integral del producto escalar entre ellos.

Pero, tal como en caso escalar, una integral de línea no está limitada por el plano y, por tanto, podemos extender el concepto de trabajo como una integral de línea para cualquier curva en el espacio.

Definición

Como estamos trabajando con tres dimensiones, el campo no será \(vec{F}(x, y)=\left(F_{1}, F_{2}\right)\), sino \(\vec{F}(x, y)=(F_{1}, F_{2})\). No cambia casi nada.

El vector tangente también tendrá tres componentes, para que podamos hacer el producto escalar directo.

Y juntando las cosas, tenemos:

\[\int_{a}^{b} F(x(t), y(t), z(t)) \cdot \vec{\sigma}^{\prime}(t) d t\]

O, también:

\[\int_{C} F_{1} d x+F_{2} d y+F_{3} d z\]

Casi igual, ¿no? No cambia nada.

Veamos un ejemplo para entender mejor, pero no te preocupes, iremos paso a paso para que todo quede claro. 

Ejemplo

Calcule \(\int_{\gamma} F \cdot d r,\) donde \(F(x, y, z)=(y+z,-z, y)\) y \(\gamma\) es la curva que parametriza la intersección de \(x^{2}+y^{2}=2 z\) con el plano \(z=y\), recorrida en sentido antihorario. 

Paso 1: armar el problema

\[\int_{a}^{b} F(x(t), y(t), z(t)) \cdot \vec{\sigma}^{\prime}(t) d t\]

Vamos a utilizar la fórmula

Tenemos el campo, pero no la parametrización, vamos a encontrarla.

Paso 2: encontrar la parametrización de la curva

Si utilizamos la ecuación del plano \(z=y\) en la otra superficie, tendremos que la proyección de la curva en el plano \(xy\) es una circunferencia:

\[x^{2}+y^{2}=2 y\]

\[x^{2}+(y-1)^{2}=1\]

Por tanto, la parametrización de la proyección de \(C\) en el plano \(xy\) es dada, en coordenadas polares desplazadas, por:

\[(\cos t, \operatorname{sen} t+1)\]

Pero \(C\) es una curva en tres dimensiones, nos falta la coordenada \(z\), que es dada por la ecuación del plano 

\[z=y\]

Entonces, una parametrización de \(C\) sería:

\[C=(\cos t, \operatorname{sen} t+1, \operatorname{sen} t+1)\]

Y, para el sentido antihorario tendremos que el parámetro \(t\) será dado de \(0\) a \(2\pi\).

Paso 3: calcular \(\vec{\sigma}\)

\[\vec{\sigma}(t)=\left(\frac{d(\cos \mathrm{t})}{d t}, \frac{d(\sin t+1)}{d t}, \frac{d(\operatorname{sen} t+1)}{d t}\right)=(-\operatorname{sen} t, \cos t, \cos t)\]

Paso 4: sustituir todo en la integral y escribir \(\vec {F}\) en función de \(t\).

El campo es dado por

\[F(x, y, z)=(y+z,-z, y)\]

Aplicando la parametrización, tenemos

\[F(x(t), y(t), z(t))=(2 \operatorname{sen} t+2,-\operatorname{sen} t-1, \operatorname{sen} t+1)\]

Entonces, sustituyendo en la integral

\[\int_{C} F . d r=\int_{0}^{2 \pi}(2 \operatorname{sen} t+2,-\operatorname{sen} t-1, \operatorname{sen} t+1) \cdot(-\operatorname{sen} t, \cos t, \cos t) d t\]

\[=\int_{0}^{2 \pi}\left(-2 \operatorname{sen}^{2} t-2 \operatorname{sen} t-\operatorname{sen} t \cos t-\cos t+\operatorname{sen} t \cos t+\cos t\right) d t=\]

\[\quad=\int_{0}^{2 \pi}\left(-2 \operatorname{sen}^{2} t-2 \operatorname{sen} t\right) d t\]

Paso 5: calcular la integral

Recordando que

\[\operatorname{sen}^{2} t=\frac{1-\cos 2 t}{2}\]

\[=\int_{0}^{2 \pi}\left(-2 \frac{1-\cos 2 t}{2}-2 \operatorname{sen} t\right) d t=\]

\[=\int_{0}^{2 \pi}(-1+\cos 2 t-2 \operatorname{sen} t) d t=\]

\[-t+\frac{\operatorname{sen} 2 t}{2}+2 \cos t_{0}^{2 \pi}=\]

\[=\left(-2 \pi+\frac{\operatorname{sen} 4 \pi}{2}+2 \cos 2 \pi\right)-\left(-0+\frac{\operatorname{sen} 0}{2}+2 \cos 0\right)=\]

\[=(-2 \pi+0+2)-(0+0+2)\]

\[-2 \pi\]

Es un poco más largo, el truco es mantenerse atento a los pasos para no confundirse, ya que es bastante información y operaciones matemáticas. 

¡Pero con la práctica te volverás un experto, vamos a los ejercicios!