Teorema de la Divergencia en el Plano

Introducción

Cuando estudiamos el teorema de Green, vimos que, cuando teníamos una integral de línea vectorial complicada podíamos hacer:

\[\int_{\partial D} F_{1} d x+F_{2} d y=\iint_{D}\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right) d x d y\]

Que por lo general facilitaba bastante las cosas.

En esta ocasión veremos algo muy parecido, solo que para el flujo. Como habíamos visto, el flujo puede ser representado por la integral:

\[\phi_{\text {flujo}}=\int_{C} \vec{F} \bullet \vec{n} d t=\int_{C} F_{1} d y-F_{2} d x\]

Con la segunda notación, podemos obtener:

\[\int_{C} F_{1} d y-F_{2} d x=\int_{C}\left(-F_{2}\right) d x+F_{1} d y\]

Es decir, básicamente, es “como si fuera” una integral vectorial con un nuevo campo \(\vec{F}_{\text {flujo}}=\left(-F_{2}, F_{1}\right)\), perpendicular al campo original \(\vec{F}=\left(F_{1}, F_{2}\right)\).

Y, usando ese modo para pensar en el flujo, podemos aplicar el teorema de Green:

\[\int_{\partial D}\left(-F_{2}\right) d x+F_{1} d y=\iint_{D}\left(\frac{\partial\left(F_{1}\right)}{\partial x}-\frac{\partial\left(-F_{2}\right)}{\partial y}\right) d x d y=\iint_{D}\left(\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}\right) d x d y\]

Esta aplicación es llamada “Teorema de la divergencia”, acompáñame a ver su definición. 

Definición del Teorema

Para una curva \(C\) cerrada y simple, orientada positivamente, delimitando una región \(D\), tal que \(C=\partial D\), el flujo de un campo \(\vec {F} = \bigg(F_{1}, F_{2}\bigg)\), definido sobre toda la región \(D\) es dado por:

\[\phi_{\text {flujo}}=\int_{C} \vec{F} \bullet \vec{n} d t=\iint_{D}\left(\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}\right) d x d y=\iint_{D} \operatorname{div}(\vec{F}) d x d y\]

Tal como el teorema de Green podía simplificar el cálculo del trabajo cuando era complicado de hallar mediante su definición, el Teorema de la divergencia hace lo mismo, en lugar de tener que calcular una integral de línea complicada calculamos una integral doble posiblemente más simple.

Bien, pero ¿cómo resolvemos los ejercicios que nos piden el flujo? ¡Veamos un ejemplo!

Ejemplo

Encuentre el flujo del campo 

\[\vec{F}=\left(x+e^{x} \sin y\right) \vec{i}+\left(x+e^{x} \cos y\right) \vec{j}\]

A través del triángulo de vértices \((1,0)\), \((0,1)\) y \((-1,0)\), orientado en sentido antihorario.

Paso 1: armar el problema

Para aburrido calcular cada una de las integrales sobre cada una de las rectas por la definición, entonces vamos a buscar ayuda en el teorema de divergencia:

\[\phi_{\text {flujo}}=\iint_{D} \operatorname{div}(\vec{F}) d x d y\]

Paso 2: calcular el divergente

El divergente puede ser encontrado por:

\[\operatorname{div}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}=\frac{\partial\left(x+e^{x} \sin y\right)}{\partial x}+\frac{\partial\left(x+e^{x} \cos y\right)}{\partial y}=1+e^{x} \sin y+e^{x}(-\sin y)=1\]

Lo cual es simple, entonces si vale la pena utilizar el teorema, veamos cómo queda en la fórmula. 

Paso 3: calcular la integral doble

Teníamos:

\[\phi_{\text {flujo}}=\iint_{D} \operatorname{div}(\vec{F}) d x d y=\iint_{D} 1 d x d y=\operatorname{Area}(D)\]

Que en este caso es bastante simple, porque tenemos un triángulo de base \(2\) y altura \(1\), entonces:

\[\phi_{\text {flujo}}=\operatorname{Area}(D)=\frac{2 \bullet 1}{2}=1\]

Resumiendo, los pasos son:

Paso 1: armar el problema

Paso 2: calcular el divergente

Paso 3: calcular la integral doble

¡Vamos a los ejercicios!