Curvas singulares

Observa el siguiente campo

\[\vec{F}=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)\]

Y la curva \(C\) que delimita la región \(x^{2}+y^{2} \leq 4\).

La curva que tenemos es una circunferencia de radio \(2\) centrada en el origen, el problema es que no podemos usar el teorema de Green porque este tiene una restricción que casi nadie recuerda: el campo tiene que ser definido en toda la región de integración.

Campos singulares

“Ah, nunca vimos eso, ¿qué es un campo no definido?”

Normalmente, el campo siempre está definido, así que no nos preocupamos mucho. Solo tenemos puntos de indeterminación (o singularidad) cuando tenemos “bugs” matemáticos, como división por \(0\), raíz cuadrada de un número negativo, etc… 

Volviendo al campo del principio

\[\vec{F}=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)\]

Ten en cuenta que el origen \((0,0)\) es el punto en el que el campo posee singularidad. En este caso, pasa usar el teorema de Green, tendremos que hacer lo siguiente

El círculo menor posee un radio igual a \(1\), para facilitar los cálculos. En este caso, la curva puede ser separada en dos, \(C\) siendo la de afuera y \(C_{1}\) la de adentro.

Recuerda que su orientación es muy importante. Esta debe ser positiva, si no recuerdas cómo hacerlo, dale un repaso al tema anterior. 

Con eso, tendremos que \(\gamma=C \cup C_{1}\), y:

\[\oint_{\gamma} \vec{F} d r=\int_{C} \vec{F} d r+\int_{C_{1}} \vec{F} d r\]

Y ahora sin, \(\gamma=\partial D\), la frontera para una región donde es válido aplicar el teorema.

Por tanto, tendremos:

\[\int_{C} \vec{F} d r+\int_{C_{1}} \vec{F} d r=\iint_{D}\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right) d x d y\]

Donde la integral de línea de \(C\) es la que queremos, entonces:

\[\int_{C} \vec{F} d r=\iint_{D}\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right) d x d y-\int_{C_{1}} \vec{F} d r\]

Y así lo hacemos para cuantos puntos de indeterminación sean necesarios. El principio básico es conseguir huir de todos esos puntos (a veces tiene más de uno) y, así, vamos despejando uno por uno con curvas.

Paso a paso

Paso 1: armar el problema

Paso 2: despejar la singularidad

Paso 3: calcular la integral doble

Paso 4: calcular la integral de línea sobre la curva interna

Paso 5: sumar todo

¡Vamos a los ejercicios!