Caso Escalar R2

Introducción

El concepto de la integral de línea es parecido al de la integral simple. Vamos a utilizar el siguiente ejemplo:

\[\int_{a}^{b} f(x) d x\]

Ya sabemos que esa expresión significa que estamos “sumando” los valores de la función \(f(x)\) dentro de un intervalo \([a, b]\), es decir, con \(x\) variando entre \(a\) y \(b\). En caso de que \(f(x)\) sea positiva, tendríamos un área de este tipo:

Bien, vamos a extender ese concepto. Digamos que queremos hacer la misma “sumatoria”, pero esta vez, no en un intervalo \(x\) sino en una curva del plano \(xy\). En este caso, la nueva función será del tipo \(f(x, y)=z\), pues esta debe estar definida para los puntos \((x, y)\), y esa sumatoria nos daría un área de este tipo:

Eso es lo que llamamos una integral de línea. En caso de que \(f(x, y)\) sea positiva, su integral en una curva \(C\) puede ser interpretada como el área entre la curva y dicha función, como en el gráfico anterior. 

La función es representada de esta forma

\[\int_{C} f(x, y) d s\]

Donde \(d s\) es un pedazo de la curva \(C\), que llamamos infinitesimal de la curva, de la misma forma que teníamos \(d x\) como subintervalo de \([a, b]\) en las integrales simples. 

¿Cómo la calculamos?  

¿Cómo calculamos esa integral?

Creo que lo más raro en este caso es \(d s\), pero en realidad no es complicado. Supongamos que tenemos una función \(f(x, y)=2+x^{2} y\) y la curva \(C\) es un círculo de radio \(1\) con centro en el origen. 

Lo primero que debemos hacer para resolver esta integral es parametrizar la curva. El círculo es parametrizado de la siguiente forma

\[\vec{\sigma}=(\cos t, \operatorname{sen} t)\]

Además, \(t\) varía de \(0\) a \(2\pi\), o sea, \(0 \leq t \leq 2 \pi\). Ahora viene la parte interesante, la fórmula que debes aprenderte es esta

\[d s=\left\|\vec{\sigma}^{\prime}(t)\right\| d t=\sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} d t\]

“¡No entendí nada!” Tranquilo, veamos un ejemplo:

\[x=\cos t \rightarrow \frac{d x}{d t}=-\operatorname{sen} t\]

\[y=\operatorname{sen} t \rightarrow \frac{d y}{d t}=\cos t\]

Siguiendo la fórmula anterior 

“¡Genial!” Pero…, no te célebres tanto porque no siempre \(ds\) será un número, también puede ser una función, pero solamente puede ser una función de \(t\). 

“¿Ahora que hacemos?” Pues intentamos escribir la función \(f(x, y)\) con \(t\).

La parametrización que tenemos es

\[x= \cos t\]

\[y =\operatorname {sen} t\]

Sustituyendo estas expresiones en la función \(f(x, y)\), tenemos 

\[f(x, y)=2+x^{2} y \rightarrow 2+(\cos t)^{2}(\operatorname{sen} t)\]

Ahora todo está listo para armar la integral

\[\int_{C} f(x, y) d s=\int_{0}^{2 \pi}\left(2+(\cos t)^{2}(\operatorname{sen} t)\right)(1) d t\]

Para explicar todo bien: los límites de integración vienen de los valores de \(t\) de la parametrización. El término que está en el primer paréntesis es \(f (x,y)\) en términos de \(t\) y el segundo paréntesis es \(ds\) que calculamos.

Y resolvemos como si fuera una integral simple

\[=2 t-\left.\frac{\cos ^{3} t}{3}\right|_{0} ^{2 \pi}=\]

\[=\left(4 \pi-\frac{1}{3}\right)-\left(0-\frac{1}{3}\right)=\]

\[=4 \pi\]

¿Ves? No es tan complicado.

Resumiendo, el paso a paso es:

Paso 1: armar el problema

Paso 2: parametrizar la curva

Paso 3: calcular \(ds\) 

Paso 4: sustituir \(ds\) en la integral y escribir \(f\) en función de \(t\)

Paso 5: calcular la integral

Aplicaciones importantes

¿Recuerdas cuando aprendiste a calcular longitudes de arcos? Viste que, siendo \(S\) la longitud de la curva \(C\) parametrizada en función de \(t\), podiamos calcularla así:

\[S=\int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} d t\]

¿Logras ver que eso no es más que una integral de línea con una función constante \(f (x, y) = 1\)? Es decir:

\[S=\int_{C} f(x, y) d s=\int_{a}^{b} 1 .\left\|\vec{\sigma}^{\prime}(t)\right\| d t\]

Otra aplicación que debes tener en cuenta es cómo calcular la masa de alambre o cable con densidad lineal. La densidad será

\[\delta(x, y)=\frac{d m}{d s}\]

Esto es

\[d m=\delta(x, y) d s\]

Entonces, la masa total puede ser calculada por la integral:

\[M=\int_{C} d m=\int_{C} \delta(x, y) d s\]

O sea, la integral de línea de la función \(f (x, y) = \delta (x,y)\).

En la práctica, ninguno de estos dos casos cambia nada; solamente el nombre de las cosas, pero debes estar pendiente para saber cuando utilizarlos. 

¡Vamos a los ejercicios!