Curvas compuestas

Curvas compuestas

Existen algunos problemas que tienen regiones con “agujeros”, por ejemplo:

\[\int_{C_{1}}\left(e^{x^{2}}+y\right) d x+\left(\cos ^{3} y+\frac{x^{2}}{2}\right) d y-\int_{C_{2}}\left(e^{x^{2}}+y\right) d x+\left(\cos ^{3} y+\frac{x^{2}}{2}\right) d y\]

Siendo:

\[C_{1}: \vec{\sigma}=(2 \cos t, 2 \operatorname{sen} t), 0 \leq t \leq 2 \pi\]

\[C_{2}: \vec{\sigma}=(\cos t, \operatorname{sen} t), 0 \leq t \leq 2 \pi\]

Obs: el campo en ambas integrales es el mismo. El gráfico de esas curvas es:

¿Cómo podemos usar el teorema de Green?

Lo bueno del teorema de Green es que, incluso en este caso donde tenemos una curva compuesta, el teorema es válido. Solamente debemos tener cuidado con la orientación de las curvas. 

Todas las curvas, mirando una a una, tienen que estar orientadas positivamente. Es decir, la región tiene que quedar a la izquierda cuando recorremos la curva. Así:

La primera figura no está orientada positivamente. Observa que, si recorremos la curva de afuera, la región queda a la derecha. Mientras que en la segunda figura, cuando recorremos ambas curvas, la región de intersección queda a la izquierda. ¿Ves la diferencia?

Luego de verificar todo lo anterior y considerando \(\partial D=C_{1} \cup C_{2}\), el teorema es:

\[\oint_{\partial D} \vec{F} \cdot d \vec{r}=\int_{C_{1}} \vec{F} d \vec{r}+\int_{C_{2}} \vec{F} d \vec{r}=\iint_{D} \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y} d x d y\]

De vuelta al problema

Entonces tenemos un problema: la curva compuesta no está orientada positivamente. Debemos invertir la curva \(C_{2}\), de la siguiente manera:

\[-\int_{C_{2}} F . d r=+\int_{C_{2}^{-}} \vec{F} \cdot d r\]

Gráficamente ocurre esto:

¡Ahora si! Con una curva compuesta orientada positivamente podemos usar el teorema de Green, de esta manera

\[\int_{C_{1}} \vec{F} \cdot d \vec{r}+\int_{C_{2}^{-}} \vec{F} \cdot d \vec{r}=\oint_{\partial D} \vec{F} \cdot d \vec{r}=\iint_{D} \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y} d x d y\]

Siendo \(D\) la región compuesta entre las dos curvas. ¡Finalmente calculamos la integral doble!

Vamos a comenzar calculando \(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\)

\[\vec{F}=\left(e^{x^{2}}+y, \cos ^{3} y+\frac{x^{2}}{2}\right)\]

\[\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\frac{\partial\left(\cos ^{3} y+\frac{x^{2}}{2}\right)}{\partial x}-\frac{\partial\left(e^{x^{2}}+y\right)}{\partial y}=x-1\]

Es bastante simple, así que no deberíamos tener problemas para calcular la integral.

Vamos a poner el valor en la fórmula:

\[\iint_{D} \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y} d x d y=\iint_{D} x-1 d x d y\]

Para este caso, el dominio \(D\) es bueno para ser escrito en coordenadas polares, entonces:

\[x=r \cos \theta\]

\[y=r \sin \theta\]

\[0 \leq \theta \leq 2 \pi\]

\[1 \leq r \leq 2\]

\[J=r\]

Sustituyendo esto en la integral:

\[\iint_{D} x-1 d x d y=\int_{0}^{2 \pi} \int_{1}^{2}(r \cos \theta-1) r d r d \theta\]

\[=\int_{0}^{2 \pi}\left[\frac{r^{3}}{3} \cos \theta-\frac{r^{2}}{2}\right]_{1}^{2} d \theta=\int_{0}^{2 \pi}\left(\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right) \cos \theta-\left(\frac{4}{2}-\frac{1}{2}\right)\right) d \theta\]

\[=\int_{0}^{2 \pi}\left(\frac{7}{3} \cos \theta-\frac{3}{2}\right) d \theta=\left[\frac{7}{3} \operatorname{sen} \theta-\frac{3}{2} \theta\right]_{0}^{2 \pi}=-\frac{3}{2}[2 \pi]=-3 \pi\]

De forma resumida, los pasos son:

Paso 1: armar el problema

Paso 2: calcular \(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\)

Paso 3: calcular la integral doble

¡Vamos a los ejercicios!