Flujo en Curvas

Introducción

Hasta ahora, hemos visto cómo las integrales de línea son utilizadas para calcular el trabajo, la circulación y el flujo.

En esta ocasión veremos otra de las aplicaciones que posee las integrales de línea, sin embargo no encaja con la definición anterior: integrales de flujo.

Físicamente, el flujo puede ser entendido como la tasa en la que el fluido “sale” o “entra” en una región delimitada por una curva cerrada. Pero también podemos aplicar dicha integral para cualquier tipo de campo vectorial, como los que hemos trabajado hasta ahora.

Como queremos medir la tasa de entrada y salida, utilizaremos el vector normal a la curva, diferentemente de la otras integrales de línea, en el que usábamos el vector tangente \(\vec{\sigma}(t)\).

Entonces, si teníamos: 

\[\text {Trabajo}=\int_{a}^{b} \vec{F} \cdot \vec{\sigma}^{\prime} d t\]

Ahora tendremos

\[\text {Flujo}=\int_{a}^{b} \vec{F} \bullet \vec{n} d t\]

Es parecido, solo debemos ver cómo encontrar el vector normal.

Vamos allá.

Vector normal

El vector normal es un vector perpendicular al vector tangente, por tanto, debemos recordar que el tangente es:

\[\vec{\sigma}^{\prime}=\left(\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}\right)\] 

Para quienes no lo recuerdan, o no vieron, un truco para encontrar vectores perpendiculares es intercambiar las componentes y cambiar el signo de una de ellas. Entonces \(\vec{n}\) es:

\[\vec{n}=\left(\frac{d y}{d t},-\frac{d x}{d t}\right)\] o \[\left(-\frac{d y}{d t}, \frac{d x}{d t}\right)\]

Para comprobar que realmente es perpendicular al vector \(\vec{\sigma}^{\prime}\), vamos a realizar el producto escalar entre \(\vec{\sigma}\) y \(\vec{n}\), el resultado debe ser cero.

\[\vec{\sigma} \cdot \vec{n}=\left(\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}\right) \cdot\left(\frac{d y}{d t},-\frac{d x}{d t}\right)=\frac{d x}{d t} \frac{d y}{d t}-\frac{d y}{d t} \frac{d x}{d t}=0\]

Podemos ver que son perpendiculares. Ese es el vector normal.

¿Y ahora? ¿Cuál escogemos?

Si la curva va en sentido antihorario:

\[\vec{n}=\left(\frac{d y}{d t},-\frac{d x}{d t}\right)\]

Si va en sentido horario:

\[\vec{n}=\left(-\frac{d y}{d t}, \frac{d x}{d t}\right)\]

“¿Cómo vamos a recordar eso?” Debemos ir a la primera componente del vector, con orientación positiva (antihorario) tenemos \(\frac{d y}{d t}\); orientación negativa (horario) tenemos \(\frac -{d y}{d t}\). No lo olvides.

Notación 

Así como la integral de trabajo podía ser escrita como:

\[\int_{a}^{b} \vec{F} \cdot \vec{\sigma}^{\prime} d t=\int_{C} F_{1} d x+F_{2} d y\]

También tenemos una notación parecida si hacemos:

\[\int_{a}^{b} \vec{F} \bullet \vec{n} d t=\int_{a}^{b}\left(F_{1}, F_{2}\right) \cdot\left(\frac{d y}{d t},-\frac{d x}{d t}\right) d t=\int_{C} F_{1} d y-F_{2} d x\]

Podemos pensar que, en la fórmula de flujo, tendremos un campo vectorial de la integral de línea, siendo en realidad:

\[\vec{F}_{f l u j o}(x, y)=\left(-F_{2}, F_{1}\right)\]

Entonces, de hecho, hacemos la integral de línea vectorial usando \(\vec {F}_{flujo}\). Es decir

\[\int_{a}^{b} \vec{F} \cdot \vec{n} d t=\int_{a}^{b} \vec{F}_{\text {flujo}} \cdot \vec{\sigma}^{\prime} d t=\int_{C}-F_{2} d x+F_{1} d y\] 

Veamos un ejemplo para entender mejor.

Ejemplo 

Calcule el flujo del campo

\[\vec{F}=x \vec{i}+y \vec{j}\]

A través de la curva

\[C: \vec{\sigma}=(\cos t, \operatorname{sen} t), 0 \leq t \leq 2 \pi\]

Paso 1: armar el problema

Si quieres el flujo a través de la curva, entonces lo que realmente queremos es:

\[\int_{a}^{b} \vec{F} \cdot \vec{n} d t\]

Ya tenemos la parametrización de la curva y el campo, solo falta el vector normal. 

Paso 2: encontrar el vector normal

El vector normal es dado por:

\[\vec{n}=\left(\frac{d y}{d t},-\frac{d x}{d t}\right)=(\cos t, \sin t)\]

¡Y ahora poner todo en la integral!

Paso 3: calcular la integral

Ahora que tenemos todo, podemos hacer:

\[\int_{a}^{b} \vec{F} \bullet \vec{n} d t=\int_{0}^{2 \pi}(\cos t, \sin t) \bullet(\cos t, \sin t) d t\]

\[=\int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} t+\sin ^{2} t d t=\int_{0}^{2 \pi} 1 d t=\left.t\right|_{0} ^{2 \pi}=2 \pi\]

De forma resumida, los pasos son:

Paso 1: armar el problema

Paso 2: encontrar el vector normal

Paso 3: calcular la integral

¡Vamos a los ejercicios!