Campos y Operaciones vectoriales

Campos vectoriales 

Todo lo que hemos estudiado hasta ahora está relacionado con las funciones escalares. Las funciones escalares son aquellas donde \(f (x, y) = x^{2} + xy\), para cada valor de \((x,y)\), tenemos una respuesta en número, es decir, sea \(f(2,1) = 2^{2} + 2 \bullet 1=6\).

En esta ocasión veremos cómo para cada valor de \((x,y)\) tendremos un vector.

Ejemplos de campos vectoriales

1-   Comencemos con uno sencillo:

\[\vec{F} (x,y) = x \space \vec {i} + y \space\vec {j}\]

Veamos algunos valores, por ejemplo:

\[\vec {F} (1,1) = 1 \space \vec {i} + 1 \space \vec {j} = (1,1)\]

\[\vec {F} (-4,2) = -4 \space \vec {i} + 2 \space \vec {j} = (-4,2)\]

\[\vec {F} \big(\sqrt {13}, e^{3}\big) = \sqrt {13} \space \vec {i} + e^{3} \space \vec {j} = \big(\sqrt {13}, e^{3}\big)\]

Y así va. Cada punto \((x,y)\) tendrá un vector \((x,y)\) correspondiente. Si hacemos una buena cantidad de puntos, tendremos algo así:

2-   Ahora un poco más complicado:

\[\vec {F} (x,y) = -\frac {y}{\sqrt {x^{2} + y^{2}}}  \space \vec {i} + \frac {x}{\sqrt {x^{2} + y^{2}}}\space \vec {j}\]

Nuevamente, vamos a ver un punto específico

\[\vec {F} (3, 4) = -\frac {4}{\sqrt {3^{2} + 4^{2}}}  \vec {i} + \frac {3}{\sqrt {3^{2} + 4^{2}}} \vec {j} = \bigg (-\frac{4}{5}, \frac {3}{5}\bigg)\]

De nuevo, restando varios puntos tendremos el siguiente gráfico:

Ambos campos son distintos entre sí.

¡Pero eso no es todo! Podemos crear cualquier tipo de campo. En los ejemplos anteriores vemos una estructura que se repite: todo campo tiene forma

\[\vec{F}(x, y)=F_{1} \hat{i}+F_{2} \hat{j}\]

Con \(F_{1}\) y \(F_{2}\) siendo funciones escalares de \(x\) y \(y\), o incluso constantes. Podemos tener:

\[\vec {F} (x,y) = \bigg(\frac {1}{x}, \frac{3}{x^{2}}\bigg)\]

\[\vec {F} (x,y) = (e^{y} + 3x, 4xy^{4}\]

\[\vec {F} \big(x,y\big) = \bigg(3\pi, 12\bigg)\]

Todos campos vectoriales diferentes.

Introducción a los Operadores 

Ahora que tenemos noción sobre los campos vectoriales, debemos introducir nuevos conceptos para entender algunas de sus propiedades.

En realidad, en esta ocasión, solo necesitamos de un operador para obtener todo lo que queremos del campo. Está representado por la letra griega \(\nabla\), el nombre del símbolo es nabla, pero el operador se llama “del”.

Operador del 

Veamos al operador “del”

\[\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)\]

Parece un vector, pero no lo es. En realidad, es un operador, eso quiere decir que realiza alguna tarea, pero tiene un significado en específico.

Rotacional y Divergente 

Entonces, como explicamos anteriormente, “del” solo realiza tareas. La primera tarea que hace es darnos el vector gradiente. Para ello, basta aplicarlo en una función escalar \(f=(x,y,z)\).

\[\nabla f(x, y, z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)\]

Recientemente aprendimos qué es un campo vectorial. Veamos que tareas “del” puede hacer en estos campos. Considerando el campo:

\[\vec{F} (x,y,z)  = \bigg (x +y, z+ y, \cos {z}\bigg)\]

La primera tarea que podemos hacer es un producto escalar, de esta forma

\[\nabla \cdot \vec{F}=\frac{\partial(x+y)}{\partial x}+\frac{\partial(z+y)}{\partial y}+\frac{\partial(\cos z)}{\partial z}=2-\operatorname{sen} z\]

\(\nabla \cdot \vec {F}\), es denominado como el divergente del campo \(\vec {F}\), y es representado por \(\text {div } \vec{F}\).

Si hacemos un producto escalar, es normal pensar en hacer el producto vectorial. Veamos

\[\nabla \times \vec{F}=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ \partial x & \partial y & \partial z \\ x+y & z+y & \cos z\end{array}\right|=(-1,0,-1)\]

\(\nabla \times \vec {F}\) es denominado como el rotacional del campo \(\vec {F}\) y es representado por \(\text {rot } \vec {F}\).

Ten en cuenta la diferencia entre ellos. El divergente siempre es un número, porque fue obtenido de un producto escalar. Y el rotacional, que fue obtenido por un producto vectorial, siempre es un vector.

Entonces, para dejar todo claro, si \(\vec {F} = \bigg(\vec {F}_1, \vec {F}_2, \vec {F}_3\bigg)\)

    \(\bullet\)  Divergente:

\[\operatorname{div} \overrightarrow{\mathrm{F}}=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z}\]

     \(\bullet\) Rotacional:

 \[\operatorname{rot} \overrightarrow{\mathrm{F}}=\nabla \times \vec{F}=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ \partial x & \partial y & \partial z \\ F_{1} & F_{2} & F_{3}\end{array}\right|\]

Otra definición. Si el campo tiene rotacional nulo, es decir, \(\nabla \times \vec {F} = 0\), entonces se dice que es irrotacional. Si por otro lado, el divergente es nulo, es decir, \(\nabla \cdot \vec {F}=0\), entonces se dice que es solenoidal.

Y por cierto: si el campo no tiene tres componentes, es decir, si tenemos \(\vec {F} = \bigg(\vec {F}_1, \vec {F}_2\bigg)\). Utilizamos:

\[\operatorname{div} \overrightarrow{\mathrm{F}}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}\]

\[\operatorname{rot} \overrightarrow{\mathrm{F}}=\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right) \hat{k}\]

¡Vamos a los ejercicios!