Teorema de Green

Introducción

Ya hemos visto cómo calcular una integral de línea por su definición. Sin embargo, muchas veces, parametrizar la curva en la que debemos integrar no es tarea fácil, y mucho menos parametrizar dicha curva. Por suerte, existe una solución para facilitar estos casos. 

Se trata del Teorema de Green, este nos proporciona la relación entre una integral de línea sobre una curva cerrada y una integral doble sobre la región del plano delimitada por ella. 

“¿Y eso para qué sirve?”

En resumen: sirve para “escapar” de una integral de línea complicada, para resolver en su lugar una integral doble. Por tanto, debes saber resolver integrales dobles, así que más te vale volver a refrescar los conocimientos.

Teorema de Green

Primero, debemos saber qué es una curva orientada positivamente.

Simple: imagínate caminando sobre la frontera de la región de al lado. Puedes ver el dominio \(D\) a tu izquierda, ¿verdad? Entonces, la curva está orientada positivamente. En otras palabras, normalmente, en el plano \(x y\) tenemos el sentido antihorario.

¿Entendiste? ¡Es simple, pero también importante!

Entonces, siendo \(D\) una región cerrada en el plano \(xy\), que posee frontera \(\partial D\) orientada positivamente, recorrida solo una vez, por el Teorema de Green:

\[\oint_{\partial D} F_{1} d x+F_{2} d y=\iint_{D}\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right) d x d y\]

Donde \(F(x, y)=\left(F_{1}(x, y), F_{2}(x, y)\right)\), es un campo vectorial que posee derivadas de \(1^{er}\) orden continuas en \(D\). Importante: el campo \(F\) debe estar definido en toda la región \(D\).

Recuerda que la integral de línea se daba sobre el contorno de la región \(D\), y la integral doble se da sobre la propia región. Entonces, debemos identificar la región \(D\) y escribirla en integrales iteradas, como en cualquier ejercicio de integrales dobles.

¿Y cuál es la función que vas a integrar? Tiendo las componentes \(F_{1}\) y \(F_{2}\) del campo vectorial, vas a calcular las derivadas parciales \(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}\) y \(\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\) y hacer la diferencia entre estos resultados. Y luego, simplemente resolvemos la integral doble.

¿Confuso? Veamos un ejemplo

Ejemplo

Calcule \(\int_{C}\left(3 y-e^{\operatorname{sen} x}\right) d x+\left(7 x+\sqrt{y^{4}+1}\right) d y\), donde \(C\) es la circunferencia \(x^{2}+y^{2}=9\).

Paso 1: armar el problema

La parametrización de la curva \(C\) sería algo así: \(\vec{\sigma}=(3 \cos t, 3 \sin t)\) cuando fueramos a poner esto en el término \(e^{\operatorname{sen} x}\) tendríamos algo super complicado de calcular, por ejemplo…

Entonces, en lugar de eso, por qué no usar el Toerema de Green. Veamos:

\[\oint_{\partial D} F_{1} d x+F_{2} d y=\iint_{D}\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right) d x d y\]

Y como la curva \(C\) es cerrada, simple y orientada positivamente, no deberíamos tener problemas al aplicar el teorema. 

Paso 2: calcular \(\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right)\)

Tenemos

\[\frac{\partial F_{2}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(7 x+\sqrt{y^{4}+1}\right)=7\]

\[\frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(3 y-e^{\operatorname{sen} x}\right)=3\]

\[\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right)=7-3=4\]

Paso 3: armar la integral

Aplicando el teorema de Green, la integral del enunciado puede ser escrita como:

\[\oint_{C}\left(3 y-e^{\operatorname{sen} x}\right) d x+\left(7 x+\sqrt{y^{4}+1}\right) d y=\iint_{D}[4] d x d y=4 \iint_{D} d x d y\]

Paso 4: calcular la integral

Antes de calcular, analiza la integral que hallaste. La integral de línea se daba sobre la circunferencia \(x^{2}+y^{2}=9\), ¿cierto? Entonces, la integral doble se dará sobre el interior de esa curva, o sea, sobre el círculo \(x^{2}+y^{2}\leq 9\).

Como la región de integración \(D\) es un círculo, lo ideal sería utilizar coordenadas polares y escribir la integral iterada. ¡Pero en este caso no necesitamos eso! Solo debes recordar que \(\iint_{D} d x d y= \text { area } D\), entonces:

\[4 \iint_{D} d x d y=4 \text { área del círculo } =4 \pi(3)^{2}=36 \pi\]

Utilizando coordenadas polares, el dominio sería \(0 \leq r \leq 3\) y \(0 \leq \theta \leq 2 \pi\) y tendríamos:

\[4 \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{3} r d r d \theta=4 \int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{3} r d r=36 \pi\]

Entonces, podemos decir que:

\[\oint_{C}\left(3 y-e^{\operatorname{sen} x}\right) d x+\left(7 x+\sqrt{y^{4}+1}\right) d y=36 \pi\]

Veamos el paso a paso de forma resumida:

Paso 1: armar el problema

Paso 2: calcular \(\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right)\)

Paso 3: armar la integral

Paso 4: calcular la integral

Calculando el área

Si tenemos la integral doble:

\[\iint_{D} 1 d x d y=\text{ Area }(D)\]

Ya vimos que esta es la del área de la región \(D\). Uniendo los puntos, podemos utilizar la idea de la vuelta de Green para resolver esta integral. Confuso, ¿verdad?

Veamos cómo funciona. 

Hasta ahora, tenemos:

\[\iint_{D}\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right) d x d y=\oint_{\partial D} F_{1} d x+F_{2} d y\]

\[\quad \text { Area }(D)=\iint_{D} 1 d x d y\]

Entonces, si encontramos un campo donde \(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}=1\), podemos conectar todo, ¿no?

\[\operatorname{Area}(D)=\iint_{D} 1 d x d y=\iint_{D}\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right) d x d y=\oint_{\partial D} F_{1} d x+F_{2} d y\]

Entonces, ¿cuál es el truco? Solo escogeremos campos simples de \(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}=1\).

Personalmente, te recomiendo utilizar \(\vec{F}=(0, x)\) o \(\vec{F}=(-y, 0)\), porque son los más simples (que pueda recordar), pero quizá existan otros campos que simplifiquen las operaciones, así que mantente atento.

¡Vamos a los ejercicios!