Función Potencial

Introducción

Debes haber escuchado hablar sobre un tal “campo conservativo” en tus clases de física. Este posee una propiedad bastante interesante: el trabajo es independiente de la trayectoria. 

Sin embargo, estamos hablando sobre el campo conservativo de cálculo, no de física. Un campo conservativo es aquel que es gradiente de una función potencial \(f\), es decir:

\[\vec{F}=\nabla f(x, y, z)\]

“¡¿QUÉ?!”

No te preocupes, veremos todo con calma.

Función Potencial

Vamos a considerar el siguiente campo, \(\vec{F}=\left(y z, x z+2 y, x y+e^{z}\right)\). Si queremos saber si este es conservativo, debemos intentar hallar una función escalar \(f\) que satisfaga la ecuación anterior. ¿Pero quién es ese triángulo de cabeza? 

Ese triángulo se llama Nabla, y es un operador matemático. Presta atención

\[\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)\]

Es decir, cuando hacemos \(\vec {F}= \nabla f(x,y,z)\), queremos esto 

\[\vec{F}=\left(F_{1}, F_{2}, F_{3}\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)\]

En el ejemplo:

\[\left(y z, x z+2 y, x y+e^{z}\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)\]

\[\frac{\partial f}{\partial x}=y z \rightarrow f=\int y z d x\]

\[\frac{\partial f}{\partial y}=x z+2 y \rightarrow f=\int x z+2 y d y\]

\[\frac{\partial f}{\partial z}=x y+e^{z} \rightarrow f=\int x y+e^{z} d z\]

Básicamente es eso. Tendremos que calcular las tres integrales y ver si realmente existe una única función \(f(x, y, z)\) que satisfaga estas tres igualdades, veamos. 

\[f=\int y z d x\]

\[\mid f(x, y, z)=x y z+A(y, z)\]

El término \(A(y,z)\) surgió porque al tomar la derivada parcial, consideramos todo lo que era función de \(y,z\) constante. Tranquilizate, vas a entender todo; sigamos integrando. 

\[f=\int x z+2 y d y\]

\[f(x, y, z)=x y z+y^{2}+B(x, z)\]

Finalmente, calculando la tercera integral.

¡Fácil! Una vez calculada las tres, vamos a comparar los resultados y ver si existe una función que encaje allí:

\[f=x y z+A(y, z)\]

\[f=x y z+y^{2}+B(x, z)\]

\[f=x y z+e^{z}+C(x, y)\]

Vamos allá, ¿notaste que \(xyz\) se repite en las tres? Entonces, este con certeza está en la función:

\[f(x, y, z)=x y z+\ldots\]

Ahora vamos a analizar \(y^{2}\) y \(e^{z}\) que aparecen solo una vez, ¿puede la función contener las dos así?

\[f(x, y, z)=x y z+y^{2}+e^{z}+\ldots\]

¡De hecho esto ocurre! Solamente imagina que \(y^{2}+e^{z}\) está dentro de \(A(y, z)\), \(e^{z}\) está en \(B(x,z)\) y \(y^{2}\) está en \(C(x,y)\). ¿De acuerdo?

Finalmente, tenemos que considerar una constante \(K\) de integración, no lo olvides. La función queda así:

\[f(x, y, z)=x y z+y^{2}+e^{z}+K\]

Además, como hallamos una función potencial, el campo \(\vec {F}\) es conservativo. De lo contrario, en caso de que existiera una función \(f\) que encajase en las tres igualdades, el campo no sería conservativo. 

Los pasos son:

Paso 1: integrar \(F_{1}\) en relación a \(x\) y obtener \(f (x,y,z)\) con el término \(A(y,z)\)

Paso 2: integrar \(F_{2}\) en relación a \(y\) y obtener \(f (x,y,z)\) con el término \(B (x,z)\)

Paso 3: integrar \(F_{3}\) en relación a \(z\) y obtener \(f (x,y,z)\) con el término \(C (x,y)\)

Paso 4: comparar la tres ecuaciones y descubrir una única función \(f (x,y,z)\) que satisfaga todas las igualdades. 

Obs: en caso de que no halles \(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})\) el campo no será conservativo.

El rotacional de un campo conservativo

¿No existe una manera más fácil de saber si el campo es conservativo?

Por suerte, existe una forma mucho más fácil (y por supuesto, si no lo fuera, ni siquiera intentaramos hallar la función potencial).

Pues todo campo conservativo debe ser irrotacional, es decir, su rotación debe ser cero:

\[\nabla \times \vec{F}=\overrightarrow{0}\]

Para el rotacional \(\mathbb{R}^{2}\) es:

\[\operatorname{rot}(\vec{F})=\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\]

Y para \(\mathbb{R}^{3}\):

\[\operatorname{rot}(\vec{F})=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \partial x & \partial y & \partial z \\ F_{1} & F_{2} & F_{3}\end{array}\right|=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}\right) \vec{i}+\left(\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x}\right) \vec{j}+\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right) \vec{k}\]

Cuidado. Si el rotacional es diferente a cero el campo no es conservativo. Pero, si el campo es irrotacional, no podemos afirmar nada aún.

Nuestra recomendación es que verifiques esta condición que, en ocasiones puede tener cálculos aburridos, es mejor que hacer todas las integrales para hallar la función potencial y no consigas el resultado.

Propiedades del campo conservativo

Ya definimos qué es un campo conservativo y sabemos cómo verificar si es o no conservativo. ¿Pero en qué ayuda eso? De eso es de lo que hablaremos. Si verificamos que \(\vec{F}\) es conservativo, podemos facilitar la integral de línea con estas propiedades.

Si la curva tiene punto inicial \(A\) y final \(B\), entonces:

\[\int_{C} \vec{F} \cdot d r=f(B)-f(A)\]

Lo que esta propiedad dice es que si \(\vec{F}\) es conservativo, la integral de línea puede ser calculada a través de la función potencial en el punto final menos la potencial en el punto inicial. No importa cuál sea la curva, solo los puntos inicial y final. Y, si la curva es cerrada, es decir, \(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\) la integral de línea siempre valdrá cero.

¿Y cuando no hallamos la función potencial?

En muchos casos no será sencillo hallar la función potencial.

Por suerte, todavía podemos usar el hecho de que la integral no depende de la curva. ¿Como? Si escogemos una curva con los mismos puntos inicial y final, pero que sea fácil de calcular la integral de línea.

¡Veamos un ejemplo!

Ejemplo

Calcule la integral de línea del campo conservativo \(F(x, y)=(2 x, \cos y+2 y \operatorname{arctg} y)\) a lo largo de la curva \(C\) parametrizada por \(\gamma(\theta)=((1+\operatorname{sen} \theta) \cos \theta,(1+\operatorname{sen} \theta) \operatorname{sen} \theta), \theta \in[0, \pi]\).

Paso 1: si el campo es conservativo, intentaremos hallar una función potencial. 

\[F_{1}=\frac{\partial f}{\partial x}\]

\[f=\int F_{1} d x=\int 2 x d x=x^{2}+A(y)\]

\[f=\int F_{2} d y=\int \cos y+2 y \operatorname{arctg} y d y\]

En este caso, nos encontramos con algo bastante difícil de integrar. Entonces, no nos parece viable hallar una función potencial…“¿Y ahora? ¿Vamos a tener que resolver la integral por esa curva complicadísima?” No, nada de eso. Vamos a utilizar la independencia de la trayectoria. 

Paso 2: encontrar los puntos inicial y final 

\[\theta=0 \rightarrow A=(1+\operatorname{sen} 0) \cos 0,(1+\operatorname{sen} 0) \operatorname{sen} 0)=(1,0)\]

\[\theta=\pi \rightarrow B=(1+\operatorname{sen} \pi) \cos \pi,(1+\operatorname{sen} \pi) \operatorname{sen} \pi)=(-1,0)\]

Paso 3: definir una curva simple que una \(A\) y \(B\).

La curva más simple en este caso será la recta que une los puntos puntos, parametrizada por:

\[x=t, y=0\]

\[\vec{\sigma}=(t, 0)\]

(pero cuidado con la orientación, en este caso \(t\) irá de \(1\) a \(-1\).

Con vector tangente:

\[\vec{\sigma}^{\prime}=\left(\frac{d(t)}{d t}, \frac{d(0)}{d t}\right)=(1,0)\]

O sea, salimos de una curva absolutamente complicada \(\gamma(\theta)=((1+\operatorname{sen} \theta) \cos \theta,(1+\operatorname{sen} \theta) \operatorname{sen} \theta)\), hacia una super simple \(\vec{\sigma}=(t,0)\), totalmente viable de integrar.

Paso 4: calcular la integral 

Simplificamos bastante las cosas, ¿no crees? El truco fue escoger las curvas más simples posibles. Casi siempre serán rectas, y te recomendamos escoger rectas que solo varíen en una variable, incluso si tienes que crear más de una (por ejemplo: para unir el punto \((0,0)\) con el punto \((1,1)\) vale la pena crear las rectas \(\vec{\sigma}_{1}=(t, 0), 0 \leq t \leq 1\) y \(\vec{\sigma}_{2}=(1, t), 0 \leq t \leq 1\), en lugar de crear una sola recta.

Condición más que suficiente para que el campo sea conservativo

En el ejemplo que vimos, el enunciado decía que el campo era conservativo, pero no siempre será así, normalmente tendrás que descubrirlo por tí mismo. 

¿Y si no podemos hallar la función potencial? ¿Cómo vamos a saber si el campo es realmente conservativo, y podremos utilizar la propiedad que acabamos de aprender?

¿Recuerdas que vimos que el campo conservativo debe ser irrotacional, y que esto nos garantiza que podemos calcular el potencial?

En este caso, debemos hacer lo mismo. En realidad, el campo tendrá rotacional \(0\) y estará definido para todo el espacio en el que estamos. Eso ya es más que suficiente para afirmar que el campo es realmente conservativo.

Comprobémoslo con el ejemplo anterior:

\[\frac{\partial F_{2}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\cos y+2 y \operatorname{arctg} y)=0, \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2 x)=0\]

Entonces:

\[\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right)=0\]

Además, \(\operatorname{arctg} y\) está definido para todos los reales. Por tanto, la función está definida para todo \(\mathbb{R}^{2}\). De esta forma podríamos saber que el campo es conservativo sin que el enunciado nos lo diga.

Y eso es todo ¡Vamos a los ejercicios!