Centro de masas y Momento de inercia

Centro de masas

Podemos tener varios motivos relacionados a la mecánica para utilizar el concepto del centro de masas, sin embargo, estamos estudiando cálculo, no física. Como estamos estudiando integrales de línea nos limitaremos al estudio del centro de masas en alambres, barras y cables finos. 

El centro de masa es un punto; dicho punto es el punto medio de distribución de masa. Es el punto donde podemos considerar que se concentra la masa del alambre.

Lo que queremos encontrar son las coordenadas \(x, y\) y \(z\) del centro de masas, normalmente representadas en tres dimensiones por \((\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})\) o en dos por \((\bar{x}, \bar{y})\).

En este punto, tenemos la media ponderada de la distribución de masa a lo largo de la curva. Tomando como ejemplo la coordenada \(\bar{x}\), cada “pedazo” contribuye con su posición \(x_{i}\) y su masa \(m_{i}\). De forma que el centro de masa será dado por la suma de todo lo anterior, dividido por la masa total:

\[\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} \bullet m_{i}}{M}\]

Haciendo \(n \rightarrow \infty\), vamos a llevar esta sumatoria a una integral en la curva.

¿Un poco extraño, no? Quizá el concepto lo sea, pero los cálculos son relativamente simples, así que vayamos a lo que nos interersa.

Definición

Como vimos en la teoría de la integral de línea escalar, el \(d m\) de un cable puede ser sustituido por:

\[d m=\delta(x, y, z) d s\]

Y que la masa total \(M\), como la integral de la función densidad, puede ser obtenida por:

\[M=\int_{C} \delta(x, y, z) d s\]

Entonces, usando la fórmula que escribimos anteriormente:

\[\bar{x}=\frac{\int_{C} x d m}{M}=\frac{\int_{C} x \delta(x, y, z) d s}{\int_{C} \delta(x, y, z) d s}\]

De la misma forma:

\[\bar{y}=\frac{\int_{C} y d m}{M}=\frac{\int_{C} y \delta(x, y, z) d s}{\int_{C} \delta(x, y, z) d s}\]

Y

\[\bar{z}=\frac{\int_{C} z d m}{M}=\frac{\int_{C} z \delta(x, y, z) d s}{\int_{C} \delta(x, y, z) d s}\]

Entonces, cuando el problema nos pide el centro de masas, sólo obtenemos la respuesta cuando obtenemos el punto \((\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})\), es decir, debemos calcular \(4\) integrales de línea (\(1\) para la masa total y \(3\) más para cada coordenada).

Veamos un ejemplo:

Ejemplo

Calcule el centro de masa del cable \(\gamma(t)=(t, t), 0 \leq t \leq 1,\), con densidad lineal  \(\delta(x, y)=x y\).

Paso 1: armar el problema

Debemos recordar que lo que queremos calcular es \(\bar{x}\) y \(\bar {y}\), dados por:

\[\bar{x}=\frac{\int_{C} x \delta(x, y) d s}{M}\]

\[\bar{y}=\frac{\int_{C} y \delta(x, y) d s}{M}\]

Y que la masa puede ser calculada por la integral de línea:

\(M=\int_{C} \delta(x, y) d s\)

Donde \(\delta(x, y) x y\)

Paso 2: encontrar \(\|\vec{\sigma}^{\prime}(t)\|\)

Para eso, haremos:

\[\left\|\vec{\sigma}^{\prime}(t)\right\|=\sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\]

Paso 3: calcular la masa

Vamos a escribir la densidad en términos de \(t\)

\[xy \rightarrow t^{2}\]

Poniéndolo en la integral que teníamos:

\[M=\int_{0}^{1} t \bullet t \bullet \sqrt{2} d t=\left.\frac{\sqrt{2} t^{3}}{3}\right|_{0} ^{1}=\frac{\sqrt{2}}{3}\]

Paso 4: calcular \(\bar{x}\)

Lo que teníamos era:

\[\bar{x}=\frac{\int_{C} x \delta(x, y) d s}{M}\]

Pero ya tenemos la masa, entonces vamos a calcular la integral del numerador:

\[\int_{C} x \delta(x, y) d s=\int_{0}^{1} t \bullet t^{2} \bullet\left\|\vec{\sigma}^{\prime}(t)\right\| d t=\left.\sqrt{2} \bullet \frac{t^{4}}{4}\right|_{0} ^{1}=\frac{\sqrt{2}}{4}\]

Entonces, lo que tendremos es:

\[\bar{x}=\frac{\int_{C} x \delta(x, y) d s}{M}=\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3}{4}\]

Paso 5: calcular \(\bar{y}\)

Queremos calcular:

\[\bar{y}=\frac{\int_{C} y \delta(x, y) d s}{M}\]

Pero, de hecho, los cálculos serán muy parecidos, porque:

\[\int_{C} y \delta(x, y) d s=\int_{0}^{1} t \bullet t^{2} \bullet\left\|\vec{\sigma}^{\prime}(t)\right\| d t=\left.\sqrt{2} \cdot \frac{t^{4}}{4}\right|_{0} ^{1}=\frac{\sqrt{2}}{4}\]

Y, entonces:

\[\bar{y}=\frac{\int_{C} y \delta(x, y) d s}{M}=\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3}{4}\]

De forma resumida, los pasos van a ser:

Paso 1: armar el problema.

Paso 2: encontrar

Paso 3: calcular la masa

Paso 4: calcular \(\bar{x}\)

Paso 5: calcular \(\bar{y}\)

Momento de Inercia

El concepto de momento de inercia de un cuerpo está ligado al movimiento de rotación. Este representa la dificultad para girar que tiene un cuerpo en relación a una recta. 

Por tal razón, no hablamos del momento de inercia sin su complemento. Siempre es “el momento de inercia en relación a una recta \(L\)” (“\(L\) es un ejemplo genérico, pero puede ser en relación al eje \(x\), \(y\), etc… 

Entonces, la distribución está relacionada al cuadrado de la distancia \(r\) de cada punto, del elemento infinitesimal de masa \(dm\), a la recta \(L\). Si sumamos cada uno de esos valores a lo largo de una curva obtendremos la fórmula general:

\[I_{L}=\int_{C} r^{2} d m\]

Recordando que, utilizando esa definición con la integral de línea, nos estaremos limitando al cálculo de que pueden trazadas por curvas, como alambres, cables y hasta barras finas, y que para este tipo de cuerpo, podemos escribir \(d m=\delta(x, y, z) d s\). 

Con eso, solo debemos definir la recta \(L\) y ver cómo queda la distancia \(r\), entonces vamos a analizar los casos principales. 

Para cada recta que te pedirán los ejercicios, tendrás una \(L\) diferente y, como consecuencia, una distancia \(r\) diferente. Pero, por suerte, los ejes de rotación más pedidos son los ejes \(x\), \(y\) y \(z\), que son “fijos”. “¿Los ejes no cambian dependiendo del problema, verdad?”

¿Entonces, cómo queda \(r\)?

Bien, veamos un ejemplo del momento de inercia en relación al eje \(z\).

Si tenemos el plano \(xy\), o cualquier otro plano donde \(z\) sea constante, tenemos que el eje \(z\) pasa por el origen \((0,0)\), entonces, la distancia hasta el origen puede ser dada, a través del teorema de Pitágoras, por \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\).

Insertandolo en la fórmula anterior:

\[I_{z}=\int_{C} r^{2} d m=\int_{C}\left(x^{2}+y^{2}\right) \delta(x, y, z) d s\]

El mismo razonamiento es aplicado tanto para el eje \(x\) como para el \(y\).

Entonces, también tenemos:

\[I_{x}=\int_{C} r^{2} d m=\int_{C}\left(y^{2}+z^{2}\right) \delta(x, y, z) d s\]

Y

\[I_{y}=\int_{C} r^{2} d m=\int_{C}\left(x^{2}+z^{2}\right) \delta(x, y, z) d s\]

Y eso es todo ¡Vamos a los ejercicios!