Área de superficies

Introducción

Una de las aplicaciones de las integrales de línea es el cálculo del área de algunas superficies. El área de cualquier superficie puede ser obtenida a partir de una integral de superficie. Sin embargo, existe un caso específico para el cual podemos calcular el área de la superficie con una integral de línea, son las superficies de revolución.

Las superficies de revolución son superficies obtenidas a partir de la rotación de una curva en torno a un eje. ¿No entendiste? Veamos un ejemplo. Ya estamos familiarizados con la recta \(y=x\); ¿qué sucede si la giramos alrededor del eje \(-1 \leq x \leq 1\)? Mira el gráfico de cómo sería:

Observa que la línea negra es la curva original \(y=x\). Simplemente giramos alrededor del eje \(y\).

Bien, se entiende lo que es la superficie de rotación pero, ¿cómo calculamos su área? Pues simple, existe un teorema sencillo que nos dará el área de la superficie de rotación con tan solo una integral: el Teorema de Pappus.

Teorema de Pappus

El teorema de Pappus enuncia que, para la rotación de una curva \(\sigma(t)=(x(t), y(t))\) alrededor del eje \(x\), el área de la superficie es dada por:

\[\text {Area}=2 \pi \int_{C}|y| d S\]

Y para la rotación alrededor del eje \(y\), el área viene dada por:

\[\text {Area}=2 \pi \int_{C}|x| d S\]

Donde

Tenemos que tener cuidado con ciertas cosas aquí.

1º) La fórmula representa el área de una rotación completa, por eso tenemos el término \(2 \pi\). Veamos un ejemplo en el cual tendríamos que hacer una modificación a esta fórmula:

Piensa en la rotación de la curva \(y=x^{2}\) alrededor del eje \(y\) en el intervalo de \(-1 \leq x \leq 1\). La curva y la superficie serán estas:

Observa que, nada más haciendo la mitad de la rotación pudimos generar una superficie, esto sucede porque la curva es simétrica en relación al eje \(y\). Siempre que tengamos esto vamos a tener que pensar en cómo calcular el área correcta. En este caso, en lugar de utilizar la fórmula con \(2\pi\), simplemente vamos a dividir por dos, puesto a que solo hicimos la mitad de la rotación. Siempre grafica las curvas y superficies con las que estás trabajando para así no calcular el área incorrecta. 

2º) Estamos hablando de la integral de un módulo, por tanto, tenemos que analizar cuándo el término es positivo y cuándo es negativo. Esto lo entenderás mejor en el siguiente ejemplo. 

Ejemplo

Vamos a intentar calcular el área del ejemplo anterior. Solo para recordar los datos, el ejercicio nos habla sobre la rotación de la curva \(y=x\) en torno al eje \(y\) en el intervalo de \(-1 \leq x \leq 1\).

Paso 1: bien, el teorema de Pappus para la rotación completa en el eje \(y\) nos dice que:

\[\text {Area}=2 \pi \int_{C}|x| d S\]

Primero debemos encontrar una parametrización para la curva, eliminar el módulo dentro de la integral, sin después calcular \(\| \sigma^{\prime}(t)\) y, finalmente, juntar todo en la integral.

Paso 2: muchos de los ejercicios nos dan la parametrización directamente, pero en este caso no fue así. Una parametrización simple es la siguiente:

\[x(t)=t\]

\[y=x \rightarrow y(t)=t\]

\[\sigma(t)=(t, t)\]

\[-1 \leq t \leq 1\]

Paso 3: ¿cómo podemos eliminar el módulo de \(x\) de la integral? Necesitamos ver cuándo \(x\) es positiva y cuándo es negativa, en este caso:

\[x(t)=t\]

\[|x(t)|=\left\{\begin{aligned}-t & \text { si }-1 \leq t<0 \\ t & \text { si } 0 \leq t \leq 1 \end{aligned}\right.\]

Entonces debemos dividir la integral en dos:

\[\text {Area}=2 \pi \int_{0}^{1} t d S-2 \pi \int_{-1}^{0} t d S\]

Paso 4: debemos calcular el valor de \(\| \sigma^{\prime}(t)\), para eso:

\[\sigma(t)=(t, t)\]

\[\sigma^{\prime}(t)=(1,1)\]

\[\left\|\sigma^{\prime}(t)\right\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\]

Paso 5: terminamos calculando las dos integrales.

\[\text {Area}=2 \pi \int_{0}^{1} t \sqrt{2} d t-2 \pi \int_{-1}^{0} t \sqrt{2} d t\]

\[=2 \pi\left[\frac{\sqrt{2} t^{2}}{2}\right]_{t=0}^{t=1}-2 \pi\left[\frac{\sqrt{2} t^{2}}{2}\right]_{t=-1}^{t=0}\]

\[=2 \pi\left[\frac{\sqrt{2}}{2}-0\right]-2 \pi\left[0-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]=2 \pi \frac{\sqrt{2}}{2}+2 \pi \frac{\sqrt{2}}{2}=2 \pi \sqrt{2}\]

\[\text { Area }=2 \pi \sqrt{2}\]

¡Y listo! Muy simple. A continuación los pasos a seguir:

Paso 1: armar el problema, señalando explícitamente el teorema de Pappus y dejando en claro lo que necesitamos calcular. 

Paso 2: obtener una parametrización para la curva.

Paso 3: retirar el módulo de la integral

Paso 4: calcular \(\| \sigma^{\prime}(t)\)

Paso 5: juntar todo en la integral del teorema de Pappus y resolverla

¡Vamos a los ejercicios!