Velocidad Media

¡Hola Hola!

 

Cuando el hombre empieza a estudiar la naturaleza, unos de los primeros fenómenos que analiza y entiende es el movimiento. Vamos a concentrarnos en este tema para aprender sobre: Posición, Desplazamiento, Distancia Recorrida, Tiempo, etc.

 

Como te imaginarás, cuando algo se mueve puede tomar varios recorridos o puede hacer varias trayectorias; ese movimiento puede ser muy largo y para cualquier dirección. Para hacerlo sencillo, vamos a comenzar con un movimiento rectilíneo.

 

¿Qué es un movimiento rectilíneo?

 

Como su nombre lo indica, es un movimiento que se da en línea recta. 

Y para que no te fastidies, vamos a profundizar un poco más.

 

En el movimiento rectilíneo, el recorrido del cuerpo ocurre en una línea recta... O sea que su dirección es esa recta. Mientras que su sentido será para un lado o para otro sobre esa línea recta; digamos, si va o vuelve.

 

En esa línea recta que dirige el movimiento, cada punto de la misma es una posición dada; y el móvil se mueve entre diferentes posiciones dentro de esa recta.

 

Es como decir que una ruta es una dirección rectilínea y cada punto de esa ruta tiene un kilómetro (km) que lo identifica: el inicio es el kilómetro cero (Km 0), habrá un punto que sea el kilómetro cien (Km 100), otro que sea el kilómetro doscientos veinticinco (Km 225) y así… Un coche viajando por allí recorre esos diferentes puntos y puede moverse entre distintas posiciones.

 

Algunos conceptos que trabajaremos en esta parte tienen carácter vectorial, te sugiero repasar la unidad de vectores si surge alguna duda.

 

Variación de la posición \(Δx\)

En un recorrido, el movimiento entre dos posiciones es el cambio de posición; o sea, su variación. 

 

Llamamos \(\Delta x\) a esa variación, y está dada por la resta entre la posición final (dónde llega \(= x_{f}\)) y la posición inicial (dónde comienza” \(=x_{i}\)) del recorrido.

 

\[\Delta x = x_{f} – x_{i}\]

 

En física, la variación o diferencia de una cantidad se marca con la letra griega \(Delta\).

 

Veamos el gráfico anterior:

• Si el auto parte desde el Km 100 y llega al Km 225, su cambio de posición será: 

\[\Delta x = x_{f} – x_{i} = 225 km – 100 km = 125 km\]

• Mientras que si parte del Km 225 y llega al inicio de la carretera en el Km 0:

\[\Delta x = x_{f} – x_{i} = 0 km – 225 km = -225 km\]

 

¿Por qué tenemos diferentes signos?

 

En el primer caso el cambio de posición es positivo: eso es porque el movimiento se dá hacia dónde aumenta el kilometraje de la ruta (crecen los valores de la posición).

En el segundo caso el cambio de posición es negativo: eso ocurre porque el sentido es opuesto al anterior, hacia dónde disminuyen los valores de la posición en la carretera.

IMPORTANTE: Cuánto se mueve, lo indica el número; hacia dónde, lo indica el signo.

 

 

Velocidad media

Qué tan rápido se mueve algo o qué tan despacio, es algo que vemos a diario: Un caracol se mueve despacio, y un colibrí es rápido… Esa característica la determina la velocidad. Para esto necesitamos conocer el tiempo que transcurre en el cambio de posición.

La velocidad media es el cociente entre la variación de posición y el tiempo empleado:

 

\[v_{m} = \frac{\Delta x}{\Delta t}\]

 

Nuevamente usamos la letra griega \(\Delta\) para el tiempo porque es una diferencia entre el tiempo para la posición final \(t_{f}\) y para la posición inicial \(t_{i}\). 

 

Retomemos el ejemplo anterior así:

• Pensemos que el auto que viajaba desde el Km 225 y llegaba al Km 0, partió a las 16hs y llegó a destino a las 19hs. ¿Qué velocidad media tuvo?

 

Los datos que tenemos son los siguientes:

 

\[x_{i}= 225 km; x_{f}=0 km; t_{i}= 16 h; t_{f}= 19 h\]

 

La variación de posición y de tiempo:

 

\[\Delta x = x_{f} – x_{i} = 0 km - 225 km = -225 km\]

 

\[\Delta t = t_{f} – t_{i} = 19 h – 14 h = 3 h\]

 

Calculemos entonces:

 

\(v_{m}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\)

 

 

\[v_{m} = \frac{-225 km }{3 h} = -75 \frac{km}{h}\]

 

Vamos a ver otra situación:

• Pensando en el mismo viaje anterior: ¿Cuánto tiempo hubiera tardado el coche si el viaje se realiza a \(-125 km/h\)?

 

Para responder esta situación, tenemos que tomar el mismo cambio de posición, pero con esa velocidad media así:

 

\[v_{m} = \frac{\Delta x}{\Delta t}\]

 

\[\Rightarrow -125 km/h = \frac{-225 km}{\Delta t}\]

 

 

Y despejamos:

\[\Delta t = \frac{-225 km}{-125 km/h} = 1,8 h\]

 

\[\Delta t = 1,8 h = 1 h 48 min\]

 

Un detalle importante:  Ese \(\Delta t = 1 h 48 min\), es el tiempo total de viaje. Digamos que ese número es el valor que indica un cronómetro que se apaga cuando el móvil llega a su posición final \(x_{f}=0 km\), y que se inició cuando arrancó en \(225 km\) (o sea que \(t_{i} = 0 h\)).

 

Unidades

La velocidad es un cociente entre espacio recorrido y tiempo; entonces, la unidad de medida será un cociente entre unidad de longitud y unidad de tiempo:

\[[v] = \frac{[L]}{[T]}\]

 

En el sistema internacional de unidades, la unidad de velocidad es \(m/s\); puede haber otras como \(mi/h\); \(cm/s\); etc.

 

Es muy común en nuestra vida diaria usar \(km/h\), por lo que vamos a repasar cómo convertir de una unidad a otra.

 

Como:

\[1 km = 1.000 m\]

 

\[1 h = 60 min = 60 . 60 s = 3.600 s\]

 

Entonces:

 

\[1 \frac{km}{h} = 1 \frac{1.000 m}{3.600 s} = 1 \frac{1}{3,6} \frac{m}{s}\]

 

Luego:

 

\[1 \frac{km}{h} = \frac{1}{3,6} \frac{m}{s}\]

 

donde \(1/3,6\) es el factor de conversión en este pasaje.

 

En resumen; si tenemos que pasar de km/h a m/s, debemos dividir por 3,6; si tenemos que pasar de m/s a km/h, debemos multiplicar por 3,6.

 

 

Entonces; para hacer fácil una cuenta:

 

• Un vehículo que circula a \(90 km/h\), es equivalente a \(90/3,6 m/s=25 m/s\).

 

• Una persona que trota a razón de \(3m/s\), equivalen a \(3.3,6km/h = 10,8 km/h\).

 

Posición como función de tiempo en un movimiento rectilíneo uniforme

Cuando la velocidad media de un móvil es constante en todo su recorrido, se dice que tenemos un Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU): Rectilíneo porque ocurre en una línea recta; Uniforme porque su velocidad no cambia con el tiempo.

Ya calculamos la velocidad entre dos posiciones y tiempos así:

 

\[v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_{f}-x_{i}}{t_{f}-t_{i}}\]

 

Si consideramos que el tiempo inicial es cero: \(t_{i} = 0\) (cuando inicio el cronómetro); que el tiempo final es el tiempo total: \(t_{f}=t\); y también que la posición final puede ser genérica: \(x_{f}=x\); podemos reemplazar y despejar:

 

\[v = \frac{x_{f}-x_{i}}{t_{f}-t_{i}} = \frac{x-x_{i}}{t-0}\]

 

\[\rightarrow v.t = x-x_{i} \]

 

\[\Rightarrow v.t + x_{i} = x\]

 

Esa ecuación resultante nos da la posición \(x\) de un móvil que se mueve a velocidad \(v\) constante, para cualquier tiempo \(t\). Se puede reescribir así:

 

\[ x = x_{0} + v.t \]

 

¡Es una ecuación importante!

Anda anotándola en una hojita aparte porque la vamos a retomar.

 

 

Análisis gráfico

Si hacemos un análisis de la ecuación anterior, posición como función del tiempo en MRU; vemos que si comparamos con la ecuación explícita \(y=mx+b\): 

• La ecuación \(x = x_{0} + v.t\) es una función lineal, una recta.
• La coordenada \(t\) es la variable independiente mientras que \(x\) es la variable dependiente.
• El valor de la velocidad constante \(v\) es la pendiente \(m\).
• La posición inicial \(x_{0}\) es la ordenada al origen \(b\).

 

Y por la definición de la pendiente \(m\), encontramos su valor usando el ángulo \(\theta\) que tiene la recta con la horizontal:

 

\[v=m=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\tan \theta\]

 

\[\Rightarrow \tan \theta = v\]

 

 

Función de posición

¿De qué hablamos cuando hablamos de función?

 

Si bien la respuesta es algo formal y tiene algo de matemática; para nosotros, nos alcanza con saber que tengo 2 variables relacionadas con alguna cuenta.

 

Esas dos variables son la posición \(x\) y el tiempo \(t\), y por eso la llamamos función de posición: sabemos la posición de un objeto para cualquier tiempo que queramos. 

 

Imaginemos una función de posición muy fea; como, por ejemplo:

 

\[x(t) = \frac{1}{2}t^5-4t^4+t^3-2t+7\]

 

Podemos calcular la posición inicial \(x_{0}\) sustituyendo \(t=0\), así:

 

\[x(0) = \frac{1}{2} . 0^5-4 . 0^4 + 0^3 –2 . 0 + 7\]

 

\[\Rightarrow x(0) = 7\]

 

O sea, que el movimiento empieza en 7.

 

¿Y cómo hago para calcular la velocidad media?

 

Con tanto número y ecuación, la forma de obtener la \(v_{m}\) es igual:

• Calcular la posición en el momento inicial y final que se desea.
• Tomar los tiempos de esas posiciones.
• Se calcula el cambio de posición \(\Delta x\) y cambio de tiempo \(\Delta t\).
• Reemplazamos los valores en la definición de \(v_{m}\) para encontrar el valor:

 

\[v_{m} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_{f}-x_{i}}{t_{f}-t_{i}}\]

 

¿Hay otras formas de calcularla?

 

¡Y la respuesta es sí!

 

Si en lugar de una ecuación, nos dan un gráfico de la posición como función del tiempo: tendremos que hacer el mismo análisis, pero desde el gráfico.

 

Veamos el siguiente ejemplo:

Podemos ver que:

• Cuando \(t= 15s\), \(x= 5m\).
• Cuando \(t= 19 s\), \(x= 15 m\).

 

Entonces, encontramos la velocidad media aplicando la ecuación que ya vimos:

 

\[v_{m}=\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{10m–5m}{19s-15s} = 1,25\frac{m}{s}\]

 

Ese valor de \(v_{m}\), es la pendiente de la recta que une ambos puntos. Recta que tiene una inclinación con la horizontal dada por:

\[\tan \theta = v_{m} = 1,25 \frac{m}{s}\]

 

 

Ya aprendimos un montón; resolvamos algunos ejercicios para practicar todo.

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