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Vector de Velocidad y Aceleración Instantánea

Como ya hablamos en algún capítulo anterior (y en este capítulo seguiremos hablando… BLA BLA BLA), hay una pequeña pero importante diferencia entre velocidad media y velocidad instantánea. En algunos casos ellas coinciden, en otro no.

 

Cuando el movimiento es acelerado, la velocidad de un móvil cambia punto a punto. Así es como entra la velocidad instantánea en juego: es la velocidad de algún móvil en un instante determinado.

 

Podemos encontrar la velocidad instantánea como función del tiempo a partir de la derivada de la función posición. De la misma manera; la aceleración instantánea como función del tiempo es la derivada de la función velocidad.

 

Vector Velocidad Instantánea

El vector velocidad instantánea tiene componentes: la velocidad instantánea en dirección X; en dirección Y o en dirección Z; dependiendo de cuantas dimensiones haya en el problema que estudiemos.

¿Y cómo llegamos al vector velocidad instantánea?

¡Pero muy fácil!

Debemos trabajar igual que en 1D; derivando la función posición; pero tendremos una función para cada componente del vector.

Veámoslo así; la componente X del vector velocidad instantánea \(v_x(t)\) será la derivada \(\frac{d}{d t}x(t)\); y lo mismo para las otras direcciones.

En resumen:

\[v_x(t)=\frac{d}{d t}x(t)\]

 

\[v_y(t)=\frac{d}{d t}y(t)\]

 

Si vemos bien, el vector velocidad instantánea se consigue derivando al vector posición como función del tiempo.

En formulitas:

\[\vec{v}(t)=\frac{d}{d t}\vec{r}(t)\]


\[\vec{v}(t)=(v_x(t); v_y(t))=v_x(t) \hat{i}+v_y(t)\hat{j}\]


\[\vec{r}(t)=(x(t); y(t))=x(t) \hat{i} + y(t) \hat{j}\]

 

Como dijimos, esto se puede extender a la dirección Z.

Si hacemos un poco de matemática, podemos hacer el camino inverso:

-Si la velocidad instantánea se deriva de la posición; entonces el cambio de posición entre dos tiempos dados, es la integral de la velocidad en esos tiempos.

\[\vec{v}(t)=\frac{d}{dt}\vec{r}(t)\]

\[\vec{r}(t_f)-\vec{r}(t_i)=\int_{t_i}^{t_f} \vec{v}(t) d t\]

Para integrar un vector, debemos trabajar coordenada por coordenada:

\[x(t_f)-x(t_i)=\int_{t_i}^{t_f} v_x(t) d t\]


\[y(t_f)-y(t_i)=\int_{t_i}^{t_f} v_y(t) d t\]

Vector Aceleración Instantánea

La aceleración media es el cambio de velocidad entre dos tiempos, en relación al tiempo en que ocurre. De forma instantánea; la aceleración instantánea como función del tiempo, es la derivada de la función velocidad.

Ya trabajamos con algunas fórmulas:

 

\[\vec{a}(t)=\frac{d}{d t}\vec{v}(t)\]

 

El tratamiento de la aceleración instantánea como vector, es igual a la velocidad instantánea: Debemos analizar cada componente de la aceleración y derivarla de las componentes de la función velocidad: tendremos una derivada de la velocidad para la aceleración en dirección X, otra para Y y así.

 

Veamos las fórmulas:

 

\[\begin{array}{ccc} \text{Si }\vec{v}(t)=(v_x(t); v_y(t))=v_x(t) \hat{i}+v_y(t)\hat{j}, \\ \text { y } \space \vec{a}(t)=(a_x(t); a_y(t))=a_x(t) \hat{i}+a_y(t) \hat{j},\\ \text {Entonces: } a_x(t)=\frac{d}{d t}{v_x}(t)\space \text { y } \space a_y(t)=\frac{d}{d t}{v_y}(t)\end{array}\]

 

Esto también puede extenderse a la dirección Z.

Veamos un detalle más, hagamos matemática y sigamos el camino inverso:

-Si la aceleración instantánea se deriva de la velocidad; entonces el cambio de velocidad entre dos tiempos dados, es la integral de la aceleración en esos tiempos.

\[\vec{a}(t)=\frac{d}{dt}\vec{v}(t)\]

 

\[\vec{v}(t_f)-\vec{v}(t_i)=\int_{t_i}^{t_f} \vec{a}(t) d t\]

Para integrar un vector, debemos trabajar coordenada por coordenada:

\[v_x(t_f)-v_x(t_i)=\int_{t_i}^{t_f} a_x(t) d t\]


\[v_y(t_f)-v_y(t_i)=\int_{t_i}^{t_f} a_y(t) d t\]

Y como siempre, esto parece muy científico o muy rebuscado; pero la aplicación es sencilla. ¡Solo hay que animarse y seguir los pasos!

 

En resumen:

     \(\bullet\) Si quiero encontrar el Desplazamiento entre 2 tiempos; debo integrar a la función velocidad entre esos tiempos.

     \(\bullet\) Si quiero calcular la velocidad instantánea en un tiempo dado; tengo que derivar a la función posición.

     \(\bullet\) Si necesito encontrar el cambio de velocidad entre 2 tiempos; debo integrar a la función aceleración.

     \(\bullet\) Si quiero hallar la aceleración instantánea en algún tiempo, tengo que derivar la función velocidad.

 

¡Agreguemos algún ejercicio para practicar un poco y cerrar estos conceptos!

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