Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Como todo en física tiene un nombre particular, eso es para poder compartir con algún colega y algún amigo lo que estemos desarrollando.
En este caso vamos a hablar de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV, por sus siglas). Su nombre es bien largo, pero con este concepto ya tuvimos contacto en el capítulo anterior.
¡Y empecemos!
El estudio del movimiento de cualquier objeto se basa en relacionar el espacio que recorre, con el tiempo en que lo hace. Qué tan aprisa se realiza el cambio de espacio; se llama velocidad:
\[v_{m}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\]
Y cómo cambia la velocidad, es lo que llamamos aceleración:
\[a_{m}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\]
En el límite en que \(\Delta t \rightarrow 0\):
\[v(t)=\frac{d x(t)}{d t}\]
\[a(t)=\frac{d v(t)}{d t}=\frac{d^2 x(t)}{d t^2}\]
¿Qué es MRUV?
Este nombre se da al movimiento rectilíneo con aceleración constante. O sea, el cambio de velocidad es siempre igual, no importa cuando lo calculemos: la aceleración es siempre la misma.
La ecuación encontrar para la posición de un móvil en MRUV en cualquier tiempo \(\mathbb{t}\) es:
\[x=x_{0}+v_{0}.t+\frac{1}{2}.a.t^2\]
Si trabajamos con la definición de aceleración, podemos despejar \(\mathbb{v}\) y encontramos la velocidad en cualquier tiempo \(\mathbb{t}\) así:
\[v=v_{0}+a.t\]
En las ecuaciones anteriores: \(\boldsymbol{x_0}\) y \(\boldsymbol{v_0}\) son la posición y velocidad inicial; y \(\boldsymbol{\mathbb{a}}\) es la aceleración constante.
¿Qué me quieren decir esas ecuaciones?
¡Que pregunta eh!
Veamos la forma que tienen las ecuaciones y comparemos con lo que aprendimos en Análisis Matemático.
En primer lugar, la función posición tiene la forma: \(y=ax^2+bx+c\); por lo tanto, es una ecuación cuadrática en la variable \(\mathbb{t}\), o sea que su gráfico es una parábola.
En segundo lugar, la función velocidad tiene la forma: \(y=mx+b\); por lo tanto, es una ecuación lineal en la variable \(\mathbb{t}\), o sea que su gráfico es una recta. Esa pendiente \(\mathbb{m}\) es la aceleración constante \(\mathbb{a}\) y gráficamente se calcula así:
\[\tan \theta = a\]
¡OJO AL PIOJO!
Con esas 2 ecuaciones presentadas de \(x(t)\) y \(v(t)\), pensando en los gráficos y usando las definiciones de posición, tiempo, velocidad y aceleración; vamos a poder resolver todos los problemas de cinemática que se crucen.
Igualmente hay algunas observaciones que podemos hacer…
Relación entre MRUV y MRU
Las ecuaciones que hicimos para MRUV, es para un movimiento con aceleración constante obviamente distinta de cero. O sea:
\[a=\text{constante y } a \neq 0\]
¿Por qué la aceleración tiene que ser diferente de cero?
Y la respuesta es muy simple, si la aceleración es cero, la velocidad no cambia y estamos en Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU).
\[\text{Si a=0 }\Rightarrow \text{ es M.R.U.}\]
Velocidad media
Como la aceleración es constante, la velocidad cambia a ritmo constante en todo el movimiento que analicemos… entonces la velocidad media es el promedio de velocidades en el trayecto:
\[v_{m}=\frac{v +v_0}{2}\]
Ecuación de Torricelli
Como dije anteriormente, con las ecuaciones ya mostradas nos alcanza para resolver todo… pero igualmente podemos encontrar otra en los textos.
Si combinamos las fórmulas de \(x(t)\) y \(v(t)\), podemos encontrar la Ecuación de Torricelli:
\[v^2=v_{0}^2+2.a.(x- x_{0})\]
Esta ecuación relaciona el cambio de posición con las velocidades y la aceleración. Puede ayudarnos cuando no tenemos información del tiempo \(\mathbb{t}\).
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