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Calculisto

Velocidad y Aceleración Instantánea

En los conceptos de Velocidad y Aceleración que aprendimos, usamos 2 momentos determinados para calcular la diferencia de posición o el cambio de velocidad, y el tiempo que transcurre entre esos instantes. En fórmulas:

 

\[v_{m}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_{f} – x_{i}}{t_{f} - t_{i}}\]

 

\[a_{m}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{f} – v_{i}}{t_{f} - t_{i}}\]

En ambos casos, es Velocidad Media o Aceleración Media porque resulta ser un promedio de ellas entre los tiempos \(t_{f}\) y \(t_{i}\). Al ser un promedio, no tenemos información de cuánto vale \(v\) o \(a\) en cada punto: como su nombre lo indica, solo tenemos una media entre esos tiempos.

“Si el viaje en auto desde La Plata a CABA dura 1 hora,

la velocidad media es de 55 km/h.

 

Pero… ¿El auto va siempre a 55 km/h?”

 

 

¿Cómo hacemos para conocer la velocidad o aceleración en un instante?

 

Un instante es un momento muy muy breve. Digamos que es una parte del estudio de muy corta duración de tiempo. O sea que en ese instante, el tiempo inicial \(t_{i}\) y el tiempo final \(t_{f}\) están muy juntos.

 

Si quiero conocer tanto la velocidad o la aceleración en un instante del movimiento, debo usar su definición y tomar los tiempos \(t_{i}\) y \(t_{f}\) bien cerca. Veamos cómo se expresa esto matemáticamente.

 

Velocidad Instantánea

 

El cálculo de la velocidad instantánea es similar al de velocidad media pero con un cambio: los tiempos inicial y final están muy juntos.

 

Matemáticamente:

 

\[\text {Si } t_{i}\cong t_{f} \Rightarrow \Delta t = t_{f}-t{i}\cong 0\]

 

Y si aplicamos esto a la definición de velocidad media:

 

\[v_{m}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\]

 

\[\Rightarrow v=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}\]

 

Y si recordás las definiciones que trabajaste en Análisis Matemático 1…

 

¡Ese límite es una derivada!

 

¿¡¿WHAT?!?

 

Sí, correcto. Para calcular la velocidad instantánea debés calcular la derivada de la función posición \(x(t)\):

 

\[v=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{d x}{d t}\]

 

O sea, para conocer la velocidad instantánea, necesitás conocer la posición \(x\) como función del tiempo \(t\) y derivarla. Con esa derivada encontrás una nueva función que es la velocidad \(v\) dependiendo del tiempo \(t\):

 

\[\Rightarrow v(t)=\frac{d x(t)}{d t}\]

Análisis Gráfico

 

Si te acordás de Análisis: la derivada de una función en un punto, te da la pendiente de la recta que es tangente a la gráfica en ese punto.

 

Tomando la función posición \(x(t)\), su derivada nos da la función \(v(t)\) y esto es:

  • El valor de la velocidad instantánea en cada tiempo \(t\), en cada punto.

 

  • La pendiente de la recta tangente a la gráfica de \(x(t)\) en cada tiempo \(t\),en cada punto.

 

Con esto, podemos obtener información importante de sólo analizar el gráfico de \(x(t)\):

 

  • Cuando la velocidad es nula: máximos o mínimos de \(x(t)\).

 

  • Cuando la velocidad es positiva o negativa: analizando intervalos de crecimiento o decrecimiento de \(x(t)\).

 

  • Cuando la velocidad es máxima o minima: pendientes mayores o menores.

 

Veamos sobre el siguiente gráfico de la función \(x(t)\):

 

  • En \(t_{1}\), la pendiente de la recta tangente a \(x(t)\) es POSITIVA y es la velocidad \(v(t_{1})\).
  • En \(t_{2}\), la pendiente de la recta tangente a \(x(t)\) es CERO y es la velocidad \(v(t_{2})\).
  • En \(t_{3}\), la pendiente de la recta tangente a \(x(t)\) es NEGATIVA y es la velocidad \(v(t_{3})\).

 

Si seguimos haciendo análisis con el estudio de los gráficos: 

 

  • \(v(t)\) es la derivada de la función \(x(t)\); entonces, podemos encontrar el cambio de posición \(\Delta x\) integrando la función \(v(t)\).

 

Miráte el gráfico anterior de la función \(v(t)\):

 

  • El cambio de posición entre \(t_{1}\) y \(t_{2}\) es el área bajo la curva de \(v(t)\) entre esos tiempos.

 

Aceleración Instantánea

 

La velocidad media se calcula a partir del cambio de posición; la aceleración media, a partir del cambio de velocidad; ambas entre dos tiempos. 

 

Para obtener la aceleración instantánea: calculamos el cambio de velocidad cuando esos tiempos de estudio están muy juntos. 

 

O sea que, matemáticamente, tomamos la definición de \(a_{m}\) y la calculamos con \((\Delta t)\rightarrow 0\):

 

\[a_{m}=frac{\Delta v}{\Delta t}\]

 

\[\Rightarrow a=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}\]

 

Así, ese límite es la derivada. Entonces, para calcular la aceleración instantánea se calcula la derivada de la función velocidad \(v(t)\):

\[a=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{d v}{d t}\]

 

Análisis Gráfico

 

Si tenemos la función \(v(t)\), entonces podemos encontrar la aceleración instantánea mediante la derivada, y será una nueva función \(a(t)\).

 

Veamos el gráfico de \(v(t)\) siguiente (ROJO), la aceleración instantánea en un tiempo \(t\) será la pendiente de la recta tangente a la curva en ese tiempo \(t\) (AZUL).

Siguiendo con el Análisis Matemático aplicado: podemos calcular el cambio de velocidad entre dos tiempos \(t_{1}\) y \(t_{2}\), haciendo la integral de la función aceleración instantánea \(a(t)\) entre esos tiempos.

 

 

 

Resumen:

 

  • Si tenemos una función de la posición dependiendo del tiempo, \(x(t)\); se puede calcular la velocidad instantánea \(v(t)\) en cada tiempo t mediante la primera derivada:

 

\[v(t)=\frac{d x}{d t}=x’(t)\]

 

Podemos obtener el cambio de posición \(\Delta x=x_{f}-x_{i}\)  integrando la función \(v(t)\) entre los tiempos \(t_{i}\) y \(t_{f}\).

 

  • Teniendo la función velocidad \(v(t)\); calculamos la aceleración instantánea \(a(t)\) mediante la derivada… que será una segunda derivada de \(x(t)\):

 

\[a(t)=\frac{d v}{d t}=v’(t)=x’’(t)\]

 

Podemos calcular el cambio de velocidad \(\Delta v=v_{2}-v_{1}\) haciendo la integral de a(t) entre los tiempos \(t_{1}\) y \(t_{2}\).

 

  • Analizando el gráfico: la pendiente de la recta tangente a \(x(t)\) en cada tiempo, es la velocidad instantánea en ese tiempo \(t\).

 

Y a su vez, la pendiente de la recta tangente a la función \(v(t)\) en cada tiempo, es la aceleración instantánea en ese tiempo \(t\).

 

 

¡Veamos algunas aplicaciones para aclarar todo!

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