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Calculisto

Movimiento Relativo Bidimensional

Para el movimiento relativo entre dos móviles, estamos considerando el movimiento de uno respecto a otro, entonces tenemos al Observador en movimiento. Es importante definir con seguridad cuál es el Observador que tomamos como referencia y a partir del cual obtenemos todas las características del movimiento: posición, velocidad y aceleración.

 

Como vimos anteriormente, necesitamos tener una referencia externa para definir cómo se mueve el móvil, cómo lo hace el observador y a partir de allí calcular lo que buscamos.

 

En un movimiento Unidimensional; respetando el carácter vectorial, llegamos fácilmente a que:

 

\[x_{P-O}=x_P – x_O\]

 

\[v_{P-O}=v_P – v_O\]

 

\[a_{P-O}=a_P – a_O\]

 

Donde los subíndices nos dicen que:

     \(\bullet\) La magnitud con subíndice (\(P-O\)), significa la magnitud del móvil \(P\) respecto al observador en movimiento \(O\).

     \(\bullet\) La magnitud con subíndice (\(P\)), indica la magnitud del móvil \(P\) respecto a otro observador externo en reposo.

     \(\bullet\) La magnitud con subíndice (\(O\)), expresa la magnitud del observador en movimiento \(O\) respecto a otro observador externo en reposo.

 

Cuando trabajamos en dos (2) dimensiones (en el plano X-Y), las cuentas son similares. Lo único que tenemos que hacer es respetar los vectores, pero es todo similar.

Posición Relativa

Supongamos que tenemos dos (2) móviles: \(A\) y \(B\); con posiciones respecto al origen: \(\vec{r_A}\) y \(\vec{r_B}\).

Móvil \(A\): Posición \(\vec{r_A}\).

 

Móvil \(B\): Posición  \(\vec{r_B}\).

Entonces, la posición de \(B\) respecto al móvil \(A\) es:

 

\[\vec{r_{B-A}}=\vec{r_B}-\vec{r_A}\]

 

Si trabajamos componente a componente; esto queda:

 

\[\vec{r_{B-A}}=({r_B}_x-{r_A}_x; {r_B}_y – {r_A}_y)\]

 

\[\vec{r_{B-A}}=({r_B}_x-{r_A}_x)\hat{i}+({r_B}_y – {r_A}_y)\hat{j}\]

 

Velocidad y Aceleración relativa

 

Tanto para la Velocidad Relativa como la Aceleración Relativa; las fórmulas tienen la misma forma anterior pero vectoriales.

 

Considerando los mismo dos móviles; con velocidades \(\vec{v_A}\) y \(\vec{v_B}\), y aceleraciones \(\vec{a_A}\) y \(\vec{v_B}\) respecto al origen, la velocidad de \(B\) respecto a \(A\):

 

\[\vec{v}_{B-A}=\vec{v}_B-\vec{v}_A\]

 

Lo mismo podemos definir para la aceleración del móvil \(B\) respecto al móvil \(A\):

 

\[\vec{a}_{B-A}=\vec{a}_B-\vec{a}_A\]

 

Teniendo ya definidas las ecuaciones para Posición, Velocidad y Aceleración relativas; podemos encontrar las ecuaciones horarias de movimiento relativo de la misma manera:

 

\[\vec{r}_{B-A}={\vec{r}_{B-A}}_0+{\vec{v}_{B-A}}_0.t+\frac{1}{2}.\vec{a}_{B-A}.t^2\]

 

\[\vec{v}_{B-A}={\vec{v}_{B-A}}_0+\vec{a}_{B-A}.t\]

 

¡Iguales a las ecuaciones de cinemática!

 

Importante: Las posiciones \(\vec{r_A}\) y \(\vec{r_B}\), las velocidades \(\vec{v_A}\) y \(\vec{v_B}\), y las aceleraciones \(\vec{a_A}\) y \(\vec{a_B}\); se tomaron respecto al Origen de coordenadas. Se pueden obtener respecto a otra referencia externa en reposo ( con \(\vec{v}=0\)) y las cuentas funcionan igual.

 

Normalmente, esa referencia externa en reposo es el suelo.

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