Lanzamiento Oblicuo
En el lanzamiento horizontal que ya estudiamos, tenemos sólo velocidad inicial en dirección horizontal \({v_i}_x\).
La pregunta natural que viene a continuación es:
¿Qué pasa cuando tenemos velocidad inicial en dirección vertical?
Y la respuesta es simple y se llama lanzamiento oblicuo.
El lanzamiento oblicuo es un movimiento con velocidad inicial tanto en sentido horizontal (Eje X) como en vertical (Eje Y).
Normalmente, estos lanzamientos se plantean en nuestro planeta, entonces todos están afectados por la aceleración de la gravedad en sentido vertical (Dirección Y negativa):
\[a_y=-g=-9,8 \frac{m}{s^2}\]
Por lo que tenemos un MRUV sobre el Eje Y.
¿Podemos tener MRUV en el Eje X?
¡Pero claro que sí!
Podemos tener aceleración horizontal \(a_x \neq 0 \frac{m}{s^2}\); pero empezaremos estudiando el caso más simple donde \(a_x=0 \frac{m}{s^2}\).
Hecha la Intro: ¡Empecemos con el estudio!
Si tenemos un MRU en dirección horizontal (Eje X) y tenemos un MRUV en dirección vertical (Eje Y) con aceleración negativa; entonces será un movimiento parabólico.
Ejemplos de este tipo de movimiento:
\(\bullet\) Una piedra que es tirada por una persona parada en la costa de un lago para alcanzar la mayor longitud posible.
\(\bullet\) Una pelota de basket que es lanzada por un jugador para encestar en el aro.
\(\bullet\) Una roca que desliza desde la ladera de una montaña y cae llegando al piso.
La trayectoria en estos casos será aproximadamente así:
Descomponiendo el Movimiento
Para resolver los Lanzamientos Oblicuos, debemos trabajar con un MRU horizontal (Eje X) y un MRUV vertical (Eje Y).
Las componentes en cada dirección de la aceleración \(\vec{a}\) serán:
\[a_x=0 \frac{m}{s^2}\]
\[a_y=-9,8 \frac{m}{s^2}\]
Más allá de ver muchas letras y pocos números… El problema es similar a lo que estuvimos trabajando: Tenemos datos iniciales en dirección X, otros en dirección Y; y debemos resolver las ecuaciones por separado.
¿Qué ocurre cuando la velocidad inicial \(\vec{v_0}\) se expresa como vector?
Podrían darnos este dato inicial expresado como el módulo de \(|\vec{v_0}|\) y el ángulo de inclinación \(\alpha\).
O sea que, para calcular las componentes iniciales de esa velocidad en cada dirección, debemos usar SOHCAHTOA:
Componentes de un vector \(\vec{v_0}\): El vector \(\vec{v_0}\) tiene componentes \({v_0}_x \text{ y } {v_0}_y\) en cada eje.
\[{v_0}_x=|\vec{v_0}|.\cos{\alpha}\]
\[{v_0}_y=|\vec{v_0}|.\sin{\alpha}\]
Con esta descomposición del movimiento; las ecuaciones con las que debemos trabajar quedarían:
\[x=x_0+{v_0}_x.t\]
\[v_x={v_0}_x\]
\[y=y_0+{v_0}_y.t-4,9\frac{m}{s^2}.t^2\]
\[v_y={v_0}_y-9,8\frac{m}{s^2}.t\]
Cada una se usa como si fuera un movimiento unidimensional, ¡y listo!
Cuando veamos un ejemplo de este tipo: ¿Qué cosas podemos averiguar?
Hay algunos datos que son comunes a todos los problemas:
\(\bullet\) Alcance: Es la longitud horizontal que recorre el objeto desde que inicia el movimiento hasta que finaliza. Lo encontraremos haciendo \(d=x_f-x_i\).
\(\bullet\) Altura Máxima: Es la posición máxima alcanza en sentido vertical. Lo nombraremos con \(h_{max}\). Justo en ese punto, la velocidad en sentido vertical es nula: \(v_y=0 \).
\(\bullet\) Tiempo de vuelo: Es el tiempo total que transcurre entre que el móvil inicia y termina este lanzamiento oblicuo.
Luego de pasarte todos los detalles; vamos a ver un caso especial.
Movimiento Simétrico
Cuando el lanzamiento oblicuo inicia y termina a la misma altura, podemos ver que tiene un eje de simetría en su punto medio: o sea que la subida es simétrica a la bajada.
Ocurre algo curioso porque, en esta situación simétrica, porque hay algunas cuentas que se hacen más fáciles:
\(\bullet\) El tiempo total de movimiento \(t_{tot}\) se conforma con el tiempo en que el móvil sube (que llamaremos tiempo de ascenso: \(t_{asc}\)) y el tiempo en que el móvil baja (que llamaremos tiempo de descenso: \(t_{des}\)).
\[t_{tot}=t_{asc}+t_{des}\]
\(\bullet\) El tiempo de subida es igual al tiempo de bajada:
\[t_{asc}=t_{des}\]
Entonces, el tiempo total es dos veces alguno de ellos:
\[t_{tot}=t_{asc}+t_{des}=2.t_{asc}=2.t_{des}\]
\(\bullet\) El tiempo de subida y el tiempo de bajada son la mitad del tiempo total:
\[t_{asc}=\frac{t_{tot}}{2}\]
\[t_{des}=\frac{t_{tot}}{2}\]
\(\bullet\) La altura máxima que logra el móvil \(h_{max}\) ocurre cuando la velocidad vertical es nula: \({v_0}_y=0\); y cuando el tiempo es la mitad del tiempo total:
\[h_{max}=y_0+{v_0}_y.(\frac{t_{tot}}{2})-4,9.(\frac{t_{tot}}{2})^2\]
\(\bullet\) La velocidad vertical en el punto de llegada, es igual a la velocidad vertical del punto de partida; pero de sentido contrario:
\[{v_f}_y=-{v_i}_y\]
Alcance
¿Cuál será el alcance en este caso?
Debemos usar la ecuación de posición \(x(t) \) dependiente del tiempo para encontrar ese alcance, y podemos resolverlo de 2 maneras:
\(\bullet\) El alcance se consigue planteando que \(x_0=0\) y tomando el tiempo total del movimiento \(t_{tot}\):
\[\text{Alcance }=x_f=x_0+{v_0}_x . t =0+ |\vec{v_0}|.\cos \alpha . t_{tot}\]
\(\bullet\) El alcance es la distancia horizontal total: \(\text{Alcance }=x_f-x_i\).
Podemos usar la misma ecuación y despejamos:
\[\text{Alcance }=x_f-x_0={v_0}_x . t =|\vec{v_0}|.\cos \alpha . t_{tot}\]
Si me das permiso, podemos hacer algunas cuentas sobre esta última ecuación.
Llamando a \(|\vec{v_0}|=v_0\):
\[\text{Alcance }=v_0.\cos \alpha . t_{tot}\]
El tiempo total es 2 veces el tiempo de ascenso; y el tiempo de ascenso es el tiempo donde la velocidad vertical es nula:
\[v_y=0 m/s={v_0}_y-g.t_{asc}=v_0.\sin \alpha –g.t_{asc}\]
\[\Rightarrow t_{asc}=\frac{v_0.\sin \alpha}{g}\]
Usando esto; el tiempo total es:
\[t_{tot}=2.t_{asc}=\frac{2.v_0.\sin \alpha}{g}\]
Volvemos a escribir la ecuación del Alcance reemplazando el tiempo total \(t_{tot}\):
\[\text{Alcance }=v_0.\cos \alpha .(\frac{2.v_0.\sin\alpha}{g})\]
\[\text{Alcance }=\frac{{v_0}^2}{g}.2.\sin\alpha.\cos\alpha\]
Y usando la identidad trigonométrica \(\sin(2\alpha)=2.\sin\alpha.\cos\alpha\), llegamos a la ecuación final:
\[\text{Alcance }=\frac{{v_0}^2}{g}.\sin(2\alpha)\]
Podemos ver que, mientras mayor es la velocidad inicial, mayor es el alcance; y este alcance es máximo cuando \(\alpha=45^{\circ}\).
Altura máxima
En el movimiento simétrico; la altura máxima ocurre cuando:
- La distancia horizontal en ese instante es la mitad del alcance total.
- El tiempo es la mitad del tiempo total: \(t_{asc}=\frac{t_{tot}}{2}\).
- Velocidad vertical es nula: \(v_y=0\).
Para este último punto, encontramos que:
\[t_{tot}=2.t_{asc}=\frac{2.v_0.\sin \alpha}{g}\]
Y reemplazando en la ecuación horaria \(y(t)\):
\[y=y_0+{v_0}_y.t-\frac{1}{2}.g.t^2\]
\[h_{max}=0+v_0.\sin\alpha.t_{asc}-\frac{1}{2}.g.{t_{asc}}^2\]
Reemplazando \(t_{asc}\) por lo anterior:
\[h_{max}=\frac{{v_0}^2.\sin^2\alpha}{2.g}\]
Podemos ver que, mientras mayor es la velocidad inicial, mayor es la altura máxima alcanzada; y esta altura máxima es la mayor cuando el ángulo \(\alpha=90^{\circ}\), que coincide con un lanzamiento vertical.
Tiempo de Vuelo
Con esta simetría, el tiempo total del lanzamiento oblicuo es el doble del tiempo de subida o el doble del tiempo de bajada:
\[t_{tot}=2.t_{asc}=2.t_{des}\]
Usando el punto de altura máxima, encontramos que:
\[t_{asc}=\frac{v_0.\sin \alpha}{g}\]
Entonces:
\[t_{tot}=\frac{2.v_0.\sin \alpha}{g}\]
Podemos hacer un análisis similar a los anteriores: mientras mayor sea el módulo \(|v_0|\) y el ángulo \(\alpha\), mayor será el tiempo de vuelo del móvil.
Es importante remarcar que todas estas ecuaciones y propiedades analizadas solo se cumplen para el movimiento oblicuo con esa simetría: la altura inicial y final para son iguales; y además, es un MRU en dirección X y MRUV en dirección Y.
La pregunta que sigue a continuación es casi obvia; surge de inmediato:
¿Qué sucede si tenemos MRUV en ambas direcciones?
Lanzamiento Oblicuo con Aceleración Horizontal y Vertical
Supongamos que se arroja algún elemento de forma oblicua; pero en el momento en que está libre; tiene algún motor o alguna forma de impulso que le da aceleración horizontal.
¿Cómo trabajamos?
De la misma manera, combinando las ecuaciones de MRUV en ambas direcciones:
\[\text{Dirección Horizontal }=a_x\]
\[\text{Dirección Vertical }=a_y=-g=-9,8\frac{m}{s^2}\]
Verticalmente es lo mismo:
\[y=y_0+{v_0}_y.t-4,9\frac{m}{s^2}.t^2\]
\[v_y={v_0}_y-9,8\frac{m}{s^2}.t\]
Y agrego la ecuación de Torricelli:
\[{v_y}^2={{v_0}_y}^2+2.g.\Delta y\]
\[{v_y}^2={{v_0}_y}^2+2.(-9,8\frac{m}{s^2}).(y-y_0)\]
Horizontalmente, todas las ecuaciones serán:
\[x=x_0+{v_0}_x.t+\frac{1}{2}.a_x.t^2\]
\[v_x={v_0}_x+a_x.t\]
\[{v_x}^2={{v_0}_x}^2+2.a_x.\Delta x\]
¡Y ya tenemos todo para trabajar y resolver cuanto problema se nos cruce!
Vamos a meterle duro a algunos ejercicios para sacarnos todas las dudas.
Let´s go!
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