ou

Este contenido es exclusivo para usuarios registrados.

¡Regístrese gratis en el portal de ingeniería más grande!

Política de privacidad

Calculisto

Vector Desplazamiento

En el estudio del movimiento; trabajamos con magnitudes vectoriales (posición, velocidad, aceleración) y con magnitudes escalares (distancia, rapidez, tiempo). Vamos a concentrarnos en las magnitudes vectoriales y cómo podemos representarlas en 2D y 3D.

Vector de Posición

La posición de un objeto o un móvil es su ubicación con respecto a una referencia. 

En una dimensión (1D), como los sistemas que estuvimos trabajando, la referencia es el inicio de los ejes coordenados; y el signo del valor nos da el sentido de la ubicación:

\[x=+3 m \text{ significa que el objeto está a 3 metros a la derecha del cero.}\]

\[x=-1,5 m \text{ significa que el objeto está a 1,5 metros a la izquierda del cero.}\]

 

En dos dimensiones (2D), también tenemos una referencia a partir de la cual hacemos las medidas, esta es el origen de ejes coordenados. Y luego, usamos un número para identificar la posición sobre eje X, y otro número para el eje Y.

 

La posición será un vector \(\vec{r}\) que tiene 2 componentes: \(r_x\text{ y }r_y\):

\[\vec{r}=(r_x; r_y)\]

Veamos el vaso de jugo fresco que tenemos apoyado sobre la mesa. Para identificar su posición, debemos fijar el origen de coordenadas: pongámoslo en la punta de la mesa.

Su posición en dirección X es \(r_x=6\), y en dirección Y es \(r_y=3\).

 

Luego, el vector posición del vaso en la mesa es:

\[\vec{r}=(6; 3)\]

Y si escribimos el vector con versores:

\[\vec{r}=6\hat{i}+3\hat{j}\]

Ese vector posición, tiene su inicio en el origen de coordenadas y su punta en la posición del vaso… Podríamos preguntarnos: ¿Cuál es la distancia entre el origen de coordenadas y la ubicación del vaso?

 

La respuesta es sencilla: debemos encontrar la longitud del vector posición.

 

La longitud del vector es su módulo. Y calculamos:

\[|\vec{r}|^2=|(6; 3)|=6^2+3^2=36+9\]

\[|\vec{r}|^2=45\]

\[\Rightarrow |\vec{r}|=\sqrt{45}\]

Vector de Desplazamiento

Resulta que, después de ubicar correctamente la posición del vaso, termino de cenar y me doy cuenta que el vaso terminó en otra ubicación. O sea, hubo en cambio en su posición.

 

Ese movimiento entre una ubicación y otra, ese cambio de posición es vectorial: se llama Desplazamiento.

 

El Desplazamiento es el cambio de posición del objeto. 

\[\Delta \vec{r}=\vec{r_f}-\vec{r_i}\]

Podemos entender ese movimiento como un cambio de posición en dirección X y otro en dirección Y, por eso es vectorial:

\[\Delta \vec{r}=(\Delta r_x; \Delta r_y)\]

\[\Delta \vec{r}=\Delta r_x \hat{i} + \Delta r_y \hat{j}\]

La posición inicial y la posición final del vaso:

\[\vec{r_i}=(6; 3)\]

\[\vec{r_f}=(1; 2)\]

El cambio de posición en cada dirección es:

\[\Delta r_x= r_{x_f} – r_{x_i} = 1 – 6 = -5\]

\[\Delta r_y= r_{y_f} – r_{y_i} = 2 – 3 = -1\]

El desplazamiento resulta:

\[\Delta \vec{r}=(-5; -1) = -5 \hat{i} -1 \hat{j}\]

La longitud de ese Desplazamiento; o sea, la distancia entre una posición y otra es:

\[|\Delta \vec{r}|^2=(-5)^2 + (-1)^2 = 25 + 1 = 26\]

\[\Rightarrow Distancia=|\Delta \vec{r}|=\sqrt{26}\]

Veamos la representación del Desplazamiento y su distancia:

 

Vector desplazamiento vs. Distancia recorrida

El Desplazamiento nos indica un cambio vectorial en la posición de algún objeto. Es la diferencia de esos vectores: 

\[\Delta \vec{r}=\vec{r_f}-\vec{r_i}\]

La Distancia recorrida es la longitud del camino realizado, de la trayectoria. Como ese camino puede estar armado por varios Desplazamientos en diferentes direcciones; la Distancia total del recorrido es la suma de todos los módulos de los vectores Desplazamiento:

\[Distancia=\sum_n |\Delta \vec{r_n}|\]

¡WOW!

 

Aunque la fórmula parezca muy científica, solo estamos midiendo las longitudes de \(\mathbb{n}\) caminos y sumándolas… solo eso.

 

Propiedades de los vectores

Veamos algunas operaciones y algunas propiedades que usamos mientras aplicamos estas definiciones. 

Módulo de un vector \(\mathbb{v}\): Es su longitud, su magnitud.

\[|\vec{v}|=\sqrt{(v_x)^2 + (v_y)^2}\]

Suma y Resta de 2 vectores \(\mathbb{v} \text{ y } \mathbb{u}\):

\[\vec{v} \pm \vec{u} = (v_x \pm u_x ; v_y \pm u_y) = (v_x \pm u_x)\hat{i}+(v_y \pm u_y)\hat{j}\]

Multiplicación por un escalar \(\mathbb{k}\): Si tomamos cualquier vector, multiplicar por un escalar \(\mathbb{k}\) es multiplicarlo por ese número:

\[k . \vec{v} = k . (v_x ; v_y) = (k.v_x ; k.v_y)\]

\[k . \vec{v} = k . (v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) = (k.v_x)\hat{i}+(k.v_y)\hat{j}\]

El resultado geométrico es que se aumenta el tamaño del vector \(\vec{v}\) una \(\mathbb{k}\) veces.

 

Producto escalar entre dos vectores \(\vec{v} \text{ y } \vec{u}\): Importante para determinar el ángulo entre ellos.

\[\vec{v}\cdot \vec{u} = v_x \cdot u_x + v_y \cdot u_y\]

Y también, si es \(\alpha\) el ángulo entre los vectores:

\[\vec{v}\cdot \vec{u} = |\vec{v}|.|\vec{u}|.\cos{\alpha}\]

El ángulo entre los vectores puede calculares con esta última ecuación, despejando:

\[\alpha = \cos^{-1}(\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{|\vec{v}|.|\vec{u}|})\]

Como resultado rápido: 

\[\text {Si }\alpha = 90^{\circ} \rightarrow \vec{v}\cdot \vec{u}=0\]

Componentes de un vector \(\vec{v}\): Cada vector \(\vec{v}\) tiene componentes \(v_x \text{ y } v_y\) en cada eje.

 

Para calcularlas debemos conocer el módulo del vector y su inclinación, y hacemos:

\[v_x=|\vec{v}|.\cos{\alpha}\]

\[v_y=|\vec{v}|.\sin{\alpha}\]

¿Cómo llegamos a esas ecuaciones?

 

Usando las razones trigonométricas… SOHCAHTOA.

 

 

 

¡Importante! Tanto las Propiedades de Vectores como las definiciones que trabajamos, se extienden de 2D a 3D con solo agregar las componentes de los vectores en la dirección Z o \(\hat{k}\):

\[\vec{v}=(v_x; v_y; v_z)= v_x \hat{i} + v_y \hat{j} + v_z \hat{k}\]

 

 

Hay un error?

Todos los Resúmenes