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Gráficos del Movimiento Rectilíneo

Hasta aquí, presentamos dos tipos de movimientos para estudiar: MRUV y MRU.

 

¿Cuál es la diferencia entre ellos?

Uno tiene aceleración constante y el otro aceleración cero.

En MRUV ya vimos las ecuaciones temporales de la posición \(x(t)\), la velocidad \(v(t)\) y la aceleración \(a(t)\):

 

\[x=x_{0}+v_{0}.t+\frac{1}{2}.a.t^2\]


\[v=v_{0}+a.t\]


\[a=\text{constante}\]

 

Si tomamos aceleración nula, \(a=0\), llegamos a las ecuaciones de MRU:

 

\[x=x_{0}+v_{0}.t\]


\[v=v_{0}=\text{constante}\]


\[a=0\]

 

¿Cómo encontramos los gráficos de cada fórmula?

 

¡Analizando su ecuación!

 

Para MRUV tenemos:

\(x=x_{0}+v_{0}.t+\frac{1}{2}.a.t^2\)

Es una parábola.

\(v=v_{0}+a.t\)

Es una recta.

\(a=\text{constante}\)

Es una constante.

 

Para MRU los gráficos son:

\(x=x_{0}+v_{0}.t\)

Es una recta.

\(v=v_{0}=\text{constante}\)

Es una constante.

\(a=0\)

Es cero.

 

En estos casos se tomaron positivas la aceleración y la velocidad inicial para hacer más simple los gráficos. Si cambiamos los signos de ambas, los gráficos cambian levemente.

 

¡Hacer dibujos está bueno! Te invito a revisar los problemas de movimiento que ya trabajaste y graficar las ecuaciones. Cuando el gráfico coincide con los resultados del problema, sentís que todo viene bien!

 

Relación entre los gráficos del Movimiento

Vamos a resumir algunas relaciones entre x(t), v(t) y a(t) :

     \(\bullet\) Si tenemos la posición como función del tiempo \(x(t)\), la primera derivada será la velocidad como función del tiempo \(v(t)\). Y si calculamos la segunda derivada llegaremos a la aceleración como función del tiempo \(a(t)\).

     \(\bullet\) Tomando la velocidad como función del tiempo \(v(t)\); si calculamos la integral entre 2 tiempos \(t_1 \text{ y } t_2\), obtenemos el cambio de posición \(x(t)\) entre esos tiempos.

     \(\bullet\) Partiendo de la aceleración como función del tiempo \(a(t)\); si hacemos la integral entre 2 tiempos \(t_1 \text{ y } t_2\), obtenemos la variación de velocidad entre esos 2 tiempos.

 

Parece una clase de Análisis Matemático, ¡pero no! Todo esto se nombra para entender que todas las ecuaciones que encontramos tienen un sentido gráfico.

 

     \(\bullet\) Del primer punto podemos ver que, sean cuales sean los valores iniciales \(x_0 \text{ y } v_0\); a partir de la función posición podemos encontrar todas las otras magnitudes:

 

\[x(t)=x_0 + v_0 .t + \frac{1}{2}.a.t^2\]

 

\[v(t)=\frac{d x(t)}{dt}=\frac{d}{dt}( x_0 + v_0 .t + \frac{1}{2}.a.t^2)=0+v_0+a.t\]

 

\[\Rightarrow v(t)=v_0 + a.t\]

  

\[a(t)=\frac{d^2 x(t)}{d t^2}=\frac{d v(t)}{dt}=\frac{d}{dt}( v_0 + a.t)=0+a\]

 

\[\Rightarrow a(t)=a\]

 

¡Y todo coincide con las ecuaciones que vimos en MRUV!

 

Recordemos que la derivada es la pendiente de la recta tangente… ¡y eso también se analizó antes!

     \(\bullet\) Del segundo ítem podemos calcular el cambio de posición entre 2 tiempos del movimiento, integrando la función v(t) entre esos tiempos.

 

Supongamos que tenemos el gráfico de la función \(v(t)\), la integral será el área bajo la curva entre 2 tiempos:

    \(\bullet\) Del tercer detalle, podemos tomar la aceleración \(a(t)\) e integrar entre 2 tiempos para calcular el cambio de velocidad \(v(t)\).

 

Partiendo del gráfico de la aceleración para la situación planteada, el cambio de velocidad será el área bajo la curva entre esos tiempos:

Como último análisis, vamos a ver gráficamente cómo es la velocidad instantánea y la velocidad media.

 

En el gráfico de la función posición \(x(t)\); la derivada en un \(\mathbb{t}\) nos da la pendiente de la recta tangente (ROJA) en ese tiempo. 

La pendiente de la recta ROJA, es la derivada \(x’(t=1)\); y es la velocidad instantánea en \(t=1\).

 

La pendiente de la recta ROJA es la inclinación: \(\tan \theta =v(t=1)=x’(t=1)\).

 

Gráficamente, ya vimos qué es la velocidad instantánea:

¿Qué es la velocidad media?

 

Tomemos el mismo gráfico de la función posición \(x(t)\), y calculamos la velocidad media \(v_m\) entre los tiempos \(t_{1} \text{ y } t_{2}\) con la definición:

 

\[\Delta v=\frac{x_2 – x_1}{t_2 – t_1}\]

 

 

Si los tiempos de estudio son:\(t_1=0 \text{ y } t_2=1\), la velocidad media es:

 

\[v_m=\frac{x_2 – x_1}{t_2 – t_1}=\frac{2 - 0}{1 - 0}= 2\]

 

Y esa \(v_m\) calculada, es la pendiente (o inclinación) de la recta entre los puntos  \(P_1=(t_1; x(t_1)) \) y \(P_2=(t_2;x(t_2))\).

 

De manera similar, podemos trabajar con el gráfico de la velocidad como función del tiempo y encontraremos:

 

-Que la aceleración instantánea es la pendiente de la recta tangente en un tiempo \(\mathbb{t}\) dado.

 

-Que la aceleración media entre dos tiempos \(t_1 \text{ y } t_2\), es la pendiente de la recta que une esos puntos del gráfico.

 

¡Y veamos algunos ejercicios para practicar!

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