Cónicas
¡Hola chicos! Este es un tema que muchas personas ya han visto en la escuela secundaria. Si nunca lo han estudiado o no se acuerdan, no se preocupen. Vamos a ver aquí todo lo que necesitan saber para que les vaya bien en el examen. Empecemos con una repasada rápida:
Circunferencia
Recordemos su ecuación:
\[x^{2}+y^{2}=4^{2}\]
Esta es la ecuación de la circunferencia con el centro en \((0,0)\) y el radio igual a 4. En general, la ecuación de la circunferencia de centro en \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) y el radio \(r\) es:
\[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}\]
Vamos a ver dos ejemplos:
Ejemplo 1:
Encuentren el centro y el radio de la circunferencia a continuación:
\[(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4\]
Comparando con la ecuación general de la circunferencia:
\[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}\]
Podemos ver que el centro está en el punto: \(x_{0}=1, y_{0}=2\) e \(r=2\)
Ejemplo 2:
Encuentren el centro y el radio de la circunferencia de lo siguiente:
\[x^{2}-4 x+y^{2}-2 y-4=0\]
¡Tenemos un pequeño problema porque esta ecuación es diferente! No se parece a la ecuación general de la circunferencia. Así que vamos a ponerlo en la forma que debe ser:
\[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}\]
Para ello, completaremos los cuadrados. Empecemos por ajustar los términos dependientes de \(x\).
Tenemos:
\[x^{2}-4 x\]
Este nos recuerda \((x-2)^{2}=x^{2}-4 x+4\). Pero no tiene "\(+4\)". Podemos hacer lo siguiente:
\[x^{2}-4 x=x^{2}-4 x+4-4=(x-2)^{2}-4\]
¿Entienden? Sumé 4 y resté 4 para que se forme el cuadrado perfecto.
Nota: Tengan en cuenta que \(x^{2}-a x=\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}-\frac{a^{2}}{4}\), en el caso anterior: \(x^{2}-4 x=(x-2)^{2}-4\)
Hagamos lo mismo para los términos dependientes de \(y\):
\[y^{2}-2 y\]
Arreglando tenemos:
\[y^{2}-2 y=(y-1)^{2}-1\]
Regresando a la ecuación de la circunferencia:
\[x^{2}-4 x+y^{2}-2 y-4=0\]
Reemplazando:
\[(x-2)^{2}-4+(y-1)^{2}-1-4=0\]
Entonces tenemos:
\[(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=9\]
Por lo tanto, la circunferencia tiene centro en \((2,1)\) y radio \(r=3\)
Consejo: aprendan a resolver la complementación del cuadrado y estos ejercicios los van a solucionar más rápidamente. Parece complicado al principio, pero les aseguramos que con un poco de práctica lo van a sacar!
Elipse
Recordemos su ecuación:
\[\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{y^{2}}{3^{2}}=1\]
Esta es la ecuación de la elipse centrada en \((0,0)\), donde 2 es el semieje de la elipse que se encuentra a lo largo del eje \(\boldsymbol{x}\) y 3 es el semieje de la elipse a lo largo del eje \(y\).
En la elipse que se muestra en la figura anterior, notamos que \(a=2\) y \(b=3\).
De manera general, la ecuación de la elipse con centro en \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) y con semiejes \(a\) y \(b\) es:
\[\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}=1\]
Nota:
Observen que si \(a=b=r\) tendremos:
\[\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{r^{2}}+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{r^{2}}=1\]
Que es igual a:
\[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}\]
Es exactamente la ecuación de la circunferencia.
Hipérbola
Vamos a recordar su ecuación:
\[-\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{y^{2}}{3^{2}}=1\]
Esta es la ecuación de la hipérbola con centro en \((0,0)\). Y con vértices en \(V_{1}=(0,0+3)=(0,3)\) y \(V_{2}=(0,0-3)=(0,-3)\). Tengan en cuenta que el eje que contiene la variable con un signo positivo, en este caso el eje y, corta la hipérbola en sus vértices.
Otra posibilidad para la ecuación de la hipérbola con centro en \((0,0)\) es la ecuación:
\[\frac{x^{2}}{2^{2}}-\frac{y^{2}}{3^{2}}=1\]
Su forma es:
Esta hipérbola tiene centro en \((0,0)\) y vértices en \((2,0)\) y \((-2,0)\).
En general, la ecuación general de la hipérbole con el centro en \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) y los vértices en \(\left(x_{0}+a, y_{0}\right)\) y \(\left(x_{0}-a, y_{0}\right)\) es:
\[\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}-\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}=1\]
O incluso:
\[\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}-\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}=1\]
Con centro en \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) y con vértices en \(\left(x_{0}, y_{0}+b\right)\) y \(\left(x_{0}, y_{0}-b\right)\).
Parábola
Vamos a recordar su ecuación:
\[4 y=x^{2}\]
Esta es la ecuación de la parábola con vértice \(V=(0,0)\) y foco \(F=(0,1)\).
En general, la ecuación de la parábola con \(V=\left(x_{0}, y_{0}\right)\) y el foco \(F=\left(x_{0}, y_{0}+p\right)\) es:
\[4 p\left(y-y_{0}\right)=\left(x-x_{0}\right)^{2}\]
Y tiene esta forma:
¡Listo! ¡Eso es todo lo que necesitas saber! ¡Vamos a practicar!
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