Cono y Paraboloides
¡Hola amigos! En esta ocasión hablaremos sobre el segundo grupo de superficies cuádricas. Este grupo también consta de \(3\) superficies cuádricas: cono elíptico, paraboloide elíptico y paraboloide hiperbólico.
Tranquilos, vamos a ver uno por uno, paso a paso.
Cono Elíptico
El cono elíptico tiene la ecuación de la forma:
\[\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}=\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}\]
Si \(a=b=r\) tenemos un cono circular.
Además, también puede aparecer de las siguientes maneras, solo cambiando el eje principal:
\[\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}=\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}\]
\[\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}=\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}\]
Sus gráficos están representadas, respectivamente, de la siguiente manera:
Observen que el eje del cono coincide con el eje de la variable que está a la izquierda (o que está aislada) en las ecuaciones anteriores.
Paraboloides
Tienen la siguiente forma:
\[\frac{\left(z-z_{0}\right)}{c}=\pm \frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}} \pm \frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}\]
Cuando los signos son iguales tenemos un paraboloide elíptico, cuando los signos son opuestos tenemos un paraboloide hiperbólico.
Paraboloide Elíptico
Tiene la forma:
\[\frac{\left(z-z_{0}\right)}{c}=\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}\]
O
\[\frac{\left(z-z_{0}\right)}{c}=-\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}-\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}\]
Pero también puede verse así:
\[\frac{\left(y-y_{0}\right)}{b}=\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}\]
O
\[\frac{\left(y-y_{0}\right)}{b}=-\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}-\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}\]
Y así:
\[\frac{\left(x-x_{0}\right)}{a}=\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}\]
O
\[\frac{\left(x-x_{0}\right)}{a}=-\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}-\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}\]
Sus gráficos son respectivamente:
Observen que el eje del paraboloide elíptico coincide con el eje de la variable de grado 1, y que ocupa la parte positiva cuando los signos son positivos y la parte negativa cuando los signos son negativos.
Paraboloide Hiperbólico
Tiene la siguiente forma:
\[\frac{\left(z-z_{0}\right)}{c}=\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}-\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}\]
O
\[\frac{\left(z-z_{0}\right)}{c}=-\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}\]
Pero también puede aparecer con otros ejes:
\[\frac{\left(y-y_{0}\right)}{b}=\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}-\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}\]
O
\[\frac{\left(y-y_{0}\right)}{b}=-\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}\]
Y así también
\[\frac{\left(x-x_{0}\right)}{a}=\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}-\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}\]
O
\[\frac{\left(x-x_{0}\right)}{a}=-\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}\]
Sus gráficos son respectivamente:
Nota: observen que el gráfico es similar a una silla de montar caballo. Por eso también se le llama silla de montar. Además, la silla de montar está orientada desde la dirección del eje de la variable de grado \(1\).
Es decir, en los dos ejemplos anteriores, imaginen que alguien montará la silla. El cuerpo se encontrará en la dirección del eje \(z\) y las piernas de la persona se ubicaran en la dirección del eje negativo, respectivamente, \(y\) y \(x\). A continuación, los gráficos:
Ejemplo:
Identificar la cuádrica correspondiente a la siguiente función:
\[x^{2}+4 x+y^{2}-4 y-z^{2}-6 z=1\]
Esta ecuación plantea dos posibilidades de cuádricas: cono e hiperboloide de una hoja, que estudiamos anteriormente en la parte Cuádrica-Parte I, ya que son las únicas ecuaciones que tienen todas las variables al cuadrado, siendo una de ellas negativa.
Ellas tienen las siguientes ecuaciones respectivamente:
\(\bullet\) Cono:
\[\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}=\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}} \rightarrow \frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}-\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}=0\]
\(\bullet\) Hiperboloide de una hoja:
\[\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}-\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}=1\]
Bueno, el camino es completar los cuadrados y ver cómo queda la ecuación. ¡Vamos a resolver el ejercicio!
Vamos a arreglar el término:
\[x^{2}+4 x\]
Al completar los cuadrados tenemos:
\[x^{2}+4 x=(x+2)^{2}-4\]
Arreglando:
\[y^{2}-4 y\]
Tenemos:
\[y^{2}-4 y=(y-2)^{2}-4\]
Sólo falta:
\[-z^{2}-6 z\]
Queda así:
\[-z^{2}-6 z=-\left(z^{2}+6 z\right)=-\left((z+3)^{2}-9\right)\]
Reemplazando en la ecuación cuádrica provista en el problema tenemos:
\[x^{2}+4 x+y^{2}-4 y-z^{2}-6 z=1\]
\[(x+2)^{2}-4+(y-2)^{2}-4-\left((z+3)^{2}-9\right)=1\]
\[(x+2)^{2}+(y-2)^{2}=(z+3)^{2}\]
Es decir, la ecuación del cono elíptico.
Gráfico de Superficies
Aprendamos ahora a cómo dibujar estas superficies, a través de este ejemplo aquí.
\[\frac{z^{2}}{4}=\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}\]
Vamos a dibujar su gráfico. Sabemos que tiene esta forma:
Comencemos por dibujar sus trazos, es decir, la intersección del cono con los planos de coordenadas.
Trazos:
\(\bullet\) Trazo en el plano \(x y(z=0)\):
\[\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=0\]
Tenemos el punto \((0,0,0)\)
\(\bullet\) Trazo en el plano \(x z(y=0)\)
\[\frac{x^{2}}{9}=\frac{z^{2}}{4}\]
\[z=+\frac{2 x}{3}\]
\[z=-\frac{2 x}{3}\]
Por lo tanto tenemos dos rectas. El gráfico queda así:
\(\bullet\) Trazo en el plano \(y z(x=0)\)
\[\frac{y^{2}}{16}=\frac{z^{2}}{4}\]
\[z=+\frac{y}{2}\]
\[z=-\frac{y}{2}\]
Tenemos rectas. El gráfico queda así:
Ahora vamos a hacer intersecciones con planos paralelos a los ejes de coordenadas.
Intersecciones:
\(\bullet\) Plano\(z=k\)
\[\frac{k^{2}}{4}=\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16} \rightarrow 1=\frac{x^{2}}{9\left(\frac{k^{2}}{4}\right)}+\frac{y^{2}}{16\left(\frac{k^{2}}{4}\right)}\]
Son elipses para \(k \in \mathbb{R}, k \neq 0\)
\(\bullet\) Plano \(y=k\)
\[\frac{z^{2}}{4}=\frac{x^{2}}{9}+\frac{k^{2}}{16} \rightarrow \frac{z^{2}}{4\left(\frac{k^{2}}{16}\right)}-\frac{x^{2}}{9\left(\frac{k^{2}}{16}\right)}=1\]
Son hipérbolas para \(k \in \mathbb{R}, k \neq 0\)
\(\bullet\) Plano \(x=k\)
\[\frac{z^{2}}{4}=\frac{k^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16} \rightarrow \frac{z^{2}}{4\left(\frac{k^{2}}{9}\right)}-\frac{y^{2}}{16\left(\frac{k^{2}}{9}\right)}=1\]
Son hipérbolas para \(k \in \mathbb{R}, k \neq 0\)
Ahora, en el gráfico, dibujan los trazos que encontramos, diseñan dos elipses, que son las intersecciones con planos paralelos al eje \(z\), uno en la parte superior y otro en la parte inferior. Completan el área que está entre las curvas. La gráfica será el siguiente:
¡Estos son los pasos a seguir para graficar una superficie! ¡Vamos a practicar!
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