Parametrizaciones Clásicas
Ya sabemos que es una curva escrita por una parametrización, veamos cómo parametrizamos cualquier curva. Para ello veremos las parametrizaciones clásicas que pueden aparecer.
Recta
La ecuación paramétrica de la recta requiere dos cosas:
\(1.\) Un punto \(P_{0}\) conocido de la recta
\(2.\) Un vector \(\vec{n}\) en la dirección de la recta
La parametrización de la recta la vamos a sacar de la siguiente manera:
\[r(t)=P_{0}+\vec{n} t\]
\[t \in \mathbb{R}\]
Ejemplo:
¿Cuál es la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto \((1,1,1)\) y está en la dirección del vector \((1,2,3)\)?
\[P_{0}=(1,1,1)\]
\[\vec{n}=(1,2,3)\]
Entonces:
\[r(t)=(1,1,1)+(1,2,3) t\]
\[r(t)=(1+t, 1+2 t, 1+3 t), \quad t \in \mathbb{R}\]
Dense cuenta que dijimos que el intervalo de variación del parámetro \(t\) era todos los números reales. Pero si fuera un segmento de la recta, ese intervalo sería limitado, ¿están de acuerdo? Porque ya no sería toda la recta, sino una parte de ella.
Entonces, para parametrizar un segmento de la recta, ¿qué necesitamos?
Dos puntos \(P_{0}\) y \(Q_{0}\) que pertenecen a la recta y que definirán el vector \(\vec{n}\) que está en la dirección de la recta.
Así:
¿Cuál es la parametrización del segmento de recta que pasa por el punto \((1,1,1)\) y por el punto \((2,3,4)\)?
\[P_{0}=(1,1,1)\]
La resta entre ambos vectores nos da la dirección de la recta:
\[\vec{n}=Q_{0}-P_{0}=(2,3,4)-(1,1,1)=(1,2,3)\]
Entonces:
\[r(t)=(1,1,1)+(1,2,3) t\]
\[r(t)=(1+t, 1+2 t, 1+3 t), \quad t \in[0,1]\]
Por lo tanto, la parametrización del segmento de la recta está dada por
\[r(t)=P_{0}+\left(Q_{0}-P_{0}\right) t\]
\[t \in[a, b]\]
Con \(a\) y \(b\) los vectores que utilizamos para la parametrización.
Elipse y Circunferencia
¿Recuerdan la ecuación de la circunferencia?
\[x^{2}+y^{2}=1\]
\[x^{2}+y^{2}=4\]
Todas estas son circunferencias centradas en el origen, porque solo aparecen \(x^{2}\) e \(y^{2}\). Además, la primera tiene un radio de \(\sqrt{1}\) y la segunda radio \(\sqrt{4}\).
De esta forma, podemos decir que
\[C_{1}=C_{2}=(0,0)\]
Son los centros de la circunferencia, y:
\[r_{1}=1\]
\[r_{2}=2\]
Son sus radios.
Si cambiamos el centro de la circunferencia a un punto \((1,2)\), por ejemplo, esas dos ecuaciones serían
\[(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1\]
\[(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4\]
Podemos escribir la ecuación de la circunferencia de manera más general.
\[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}\]
Con centro \(C=\left(x_{0}, y_{0}\right)\) y radio \(r\)
Tengan en cuenta que, independientemente del centro y del radio, esta ecuación es siempre la suma de dos números al cuadrado.
Para la parametrización, vamos a comparar esto con las ecuación trigonométricas siguientes:
\[\cos ^{2} t+\operatorname{sen}^{2} t=r^{2}\]
Si dividimos la ecuación de la circunferencia por \(r^{2}\) tendremos
\[\left(\frac{x-x_{0}}{r}\right)^{2}+\left(\frac{y-y_{0}}{r}\right)^{2}=1\]
Ahora comparando las ecuaciones, observen que
\[\frac{x-x_{0}}{r}=\cos t\]
Y
\[\frac{y-y_{0}}{r}=\operatorname{sen} t\]
Despejando \(x\) y \(y\)
\[x(t)=x_{0}+r \cos t\]
\[y(t)=y_{0}+r \operatorname{sen} t\]
Pero falta el intervalo de \(t\). Cada vez que parametrizamos algo, necesitamos colocar este intervalo.
Queremos recorrer toda la circunferencia, pero lo pensamos en ángulos, por lo que pasaríamos de \(0^{\circ}\) a \(360^{\circ}\).
Colocando en radianes, tendremos
\[t \in[0,2 \pi]\]
Ahora veamos la elipse. Una de ellas es esta:
\[\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{9}=1\]
Para entender la parametrización de la elipse, comencemos escribiendo el 4 como \(2^{2}\), y luego escribimos el 9 como \(3^{2}\).
La elipse será:
\[\frac{(x-1)^{2}}{2^{2}}+\frac{(y-1)^{2}}{3^{2}}=1\]
Observa que tenemos la suma de dos cuadrados, que dan 1:
\[\left(\frac{x-1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y-1}{3}\right)^{2}=1\]
¿Recuerdan una relación trigonométrica que sea similar? Es la siguiente:
\[\cos ^{2} t+\operatorname{sen}^{2} t=1\]
Entonces, sería bueno igualar esas cosas que están al cuadrado:
\[\frac{x-1}{2}=\cos t\]
\[\frac{y-1}{3}=\operatorname{sen} t\]
Despejando \(x\) y \(y\), tendremos:
\[x(t)=1+2 \cos t\]
\[y(t)=1+3 \operatorname{sen} t\]
Pensando de la misma manera que la circunferencia, tendremos
\[t \in[0,2 \pi]\]
Listo! Ahora ya sabemos que la elipse:
\[\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}=1\]
Tiene la siguiente parametrización:
\[x(t)=x_{0}+a \cos t\]
\[y(t)=y_{0}+b \operatorname{sen} t\]
\[t \in[0,2 \pi]\]
Este intervalo, significa que la elipse da una vuelta completa. Incluso podría dar 2 vueltas, y sería:
\[t \in[0,4 \pi]\]
O 3 vueltas:
\[t \in[0,6 \pi]\]
Y así sucesivamente
A veces, la ecuación no es clara, por lo que debemos arreglarla primero completando los cuadrados. Veamos un ejemplo:
Parametrice el círculo C: \(x^{2}+y^{2}-4 x-6 y=12\).
Vamos a completar los cuadrados para que aparezca \(\left(x-x_{0}\right)^{2} \mathrm{e}\left(y-y_{0}\right)^{2}\):
\[x^{2}+y^{2}-4 x-6 y=12\]
\[x^{2}-4 x+4+y^{2}-6 y+9=12+4+9\]
\[(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=25\]
Después, \(\mathrm{C}\) es el círculo de centro en \((2,3)\) y radio\(r=5\).
Las ecuaciones paramétricas son, entonces:
\[x(t)=2+5 \cos (t)\]
\[y(t)=3+5 \operatorname{sen}(t)\]
\[t \in[0,2 \pi]\]
Una cosa que puede suceder es establecer una sentido para su curva. Haciendo \(t \in[0,2 \pi]\), es decir, comenzando desde el punto \((1,0)\), como si estuviéramos en el círculo trigonométrico), con el \(\cos t\) en el componente \(x\) y \(\operatorname{sen} t\) en el componente \(y\), siempre girando en sentido anti horario. Entonces, si solicitan una elipse parametrizada en el sentido horario, tenemos que invertir las signos de nuestra parametrización.
¿Pero cómo sucederá esta inversión? ¿Se cambia el signo de \(\cos t\) o \(\operatorname{sen} t\)? Les contestaremos algo que no les va a gustar: depende. Depende de cómo se comportarán las variables.Por ejemplo, al girar en sentido anti-horario, la trayectoria se mueve hacia la dirección negativa del eje \(x\) y la dirección positiva del eje \(y\). Y en este caso, tanto el \(\cos t\) como el \(\operatorname{sen} t\) tienen señales positivas en la parametrización. A partir de esto, deberá observar si, desde el punto en que comienza la trayectoria, camina en la dirección positiva o negativa de \(x\) y de \(y\), y cambiar el signo de \(\cos t\) y/o del \(\operatorname{sen} t\).
Y todavía puedes solicitar un punto específico para iniciar la parametrización. Tranquilos, lo vamos a entender bien con un ejemplo:
Ejemplo: una partícula se mueve a lo largo de la elipse \(4 x^{2}+y^{2}-8 y=9\) de la siguiente manera: comienza en el punto \(\left(-\frac{5}{2}, 4\right)\), da 3 vueltas en sentido horario y luego una vuelta y media en sentido anti horario. Parametriza la trayectoria de la partícula.
Paso 1: Parametrizar la elipse
Eso es lo primero que debemos hacer, entonces nos preocupamos por las aventuras de esa partícula. Tenemos que completar los cuadrados:
\[4 x^{2}+y^{2}-8 y=9\]
\[(2 x)^{2}+(y-4)^{2}-16=9\]
\[(2 x)^{2}+(y-4)^{2}=25=5^{2}\]
\[\Rightarrow\left(\frac{2 x}{5}\right)^{2}+\left(\frac{y-4}{5}\right)^{2}=1\]
Entonces la parametrización de la elipse es:
\[\left\{\begin{array}{c}{x=\frac{5}{2} \cos t} \\ {y=5 \operatorname{sen} t+4}\end{array}\right.\]
Paso 2: Identificar el tiempo inicial \(t_{0}\) en el que la partícula comienza la trayectoria.
El punto de partida es \(\left(-\frac{5}{2}, 4\right)\), es decir, la función en \(t_{0}\) será este punto:
\[\left(x\left(t_{0}\right), y\left(t_{0}\right)\right)=\left(-\frac{5}{2}, 4\right)\]
Aquí, tenemos que tomar la parametrización de \(x\) y \(y\) y colocar \(t=t_{0}\)
\[\left(\frac{5}{2} \cos t_{0}, 5 \operatorname{sen} t_{0}+4\right)=\left(-\frac{5}{2}, 4\right)\]
Igualando los componentes, tendremos
\[\left\{\begin{array}{c}{\frac{5}{2} \cos t_{0}=-\frac{5}{2}} \\ {5 \operatorname{sen} t_{0}+4=4}\end{array}\right.\]
Arreglando esto, tenemos
\[\left\{\begin{array}{c}{\cos t_{0}=-1} \\ {\operatorname{sen} t_{0}=0}\end{array}\right.\]
El punto que tiene este valor de coseno y este valor de seno es el punto \(t_{0}=\pi\)
Genial, entonces la partícula comienza la trayectoria en el tiempo \(t=\pi\).
Paso 3: Definir en qué intervalo va a variar el parámetro \(t\)
Primero dividamos el movimiento de la partícula en dos: primero da 3 vueltas en el sentido de las agujas del reloj, luego una vuelta y media en sentido contrario a las agujas del reloj.
Así que vamos a empezar con la primera parte de la trayectoria.
Como hemos visto antes, para una vuelta completa, el rango de \(t\) suele ser \([0,2 \pi]\). Y para 3 turnos es \([0,6 \pi]\). Pero aquí, ya que estamos comenzando en \(t=\pi\), tendremos que desplazar este intervalo en \(\pi\). ¿Entendieron? De la misma manera, tendremos una rotación de 6\(\pi\), la única diferencia es que comenzamos en \(\pi\).
Entonces, para esta primera parte de la trayectoria tenemos \(t \in[0+\pi, 6 \pi+\pi]=[\pi, 7 \pi]\).
Y en la segunda parte de la trayectoria, la partícula da una vuelta y media, que corresponde a una rotación de 3\(\pi\). Como terminamos las 3 vueltas iniciales en \(t=7 \pi\), para esta segunda parte tendremos \(t \in[7 \pi, 10 \pi]\).
Genial, entonces resumiendo lo que determinamos en este paso:
\(\bullet\) 1ª parte de la trayectoria: \(t \in[\pi, 7 \pi]\)
\(\bullet\) 2ª parte de la trayectoria: \(t \in[7 \pi, 10 \pi]\)
Paso 4: Definir cuál es el signo de la parametrización
Básicamente, en este caso, tenemos:
\(\bullet\) Sentido anti-horario →signo positivo para el seno en \(y\)
\(\bullet\) Sentido horario → signo negativo para el seno en \(y\)
Recuerden que la parametrización de nuestra elipse es:
\[\left\{\begin{array}{c}{x=\frac{5}{2} \cos t} \\ {y=5 \operatorname{sen} t+4}\end{array}\right.\]
Esta parametrización corresponde a una rotación en sentido antihorario, por lo que vamos a usarla para la segunda parte de la trayectoria.
En la primera parte, la partícula se desplaza en el sentido horario, por lo que tenemos que cambiar el signo
\[\left\{\begin{array}{c}{x=\frac{5}{2} \cos t} \\ {y=-5 \operatorname{sen} t+4}\end{array}\right.\]
¡Atención! ¡Fíjense que sólo hemos cambiado el signo del seno! Si pusiéramos \(-4\) en lugar de \(+4\), esto ya no sería una parametrización para nuestra elipse. Este 4 aparece porque la elipse está desplazada en el eje \(y\), no tiene nada que ver con la dirección de rotación. ¡Es muy importante entender esto!
¡Por fin acabamos! Concluimos que la trayectoria de la partícula se puede describir por la parametrización:
\[\left\{\begin{array}{c}{x=\frac{5}{2} \cos t} \\ {y=-5 \operatorname{sen} t+4}\end{array}, t \in[\pi, 7 \pi]\right.\]
\[\left\{\begin{array}{c}{x=\frac{5}{2} \cos t} \\ {y=5 \operatorname{sen} t+4}\end{array}, t \in[7 \pi, 10 \pi]\right.\]
Funciones explícitas
En los casos en que la curva C es el gráfico de una función de una variable \(y=f(x)\), tenemos que una parametrización natural es:
\[x(t)=t\]
\[y(t)=f(t)\]
\[t \in \mathbb{R}\]
Ejemplo:
Parametriza la parábola P: \(y^{2}-2 x+4 y=0\).
Si aislamos el \(x\), tendremos:
\[x=\frac{y^{2}}{2}+2 y\]
Así, la parametrización es:
\[x(t)=\frac{t^{2}}{2}+2 t\]
\[y(t)=t\]
\[t \in \mathbb{R}\]
Hipérbole
¿Recuerdan la ecuación general de la hipérbola centrada en \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\)? ¿No? No hay problema, aquí se la recordamos:
\[\left(x-x_{0}\right)^{2}-\left(y-y_{0}\right)^{2}=1\]
Hmm, ¿Y qué pasa cuando está al cuadrado y se resta de 1? ¡Entonces estamos trabajando con el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico!
Relájense, sabemos que esto no es obvio porque es probable que ni siquiera recuerden que son estas cosas. No hay problema, veamos un repaso:
\[\cosh (t)=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}\]
\[\operatorname{senh}(t)=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}\]
Tengan en cuenta que la resta de estas dos funciones al cuadrado será:
\[(\cosh (t))^{2}-(\operatorname{senh}(t))^{2}=\left(\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}\right)^{2}=1\]
Para todo \(t \in \mathbb{R}\).
Así, como cosh \((t)>0\) para todo \(t \in \mathbb{R}\), tenemos que la parametrización de la hipérbola centrada en \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) es:
\[x(t)=\cosh (t)+x_{0}\]
\[y(t)=\operatorname{senh}(t)+y_{0}\]
\[t \in \mathbb{R}\]
Para la rama de la hipérbola \(H\) en \(x>0\)
Es
\[x(t)=-\cosh (t)+x_{0}\]
\[y(t)=\operatorname{senh}(t)+y_{0}\]
\[t \in \mathbb{R}\]
Para la rama de la hipérbola \(H\) en \(x<0\).
Necesitamos las funciones para representar hipérboles, pero usualmente es así.
\[\sigma(t)=\left( \pm \cosh (t)+x_{0}, \operatorname{senh}(t)+y_{0}\right)\]
Ahora bien, si consideramos la hipérbole.
\[H : \frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}-\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}=1\]
Tenemos que su parametrización es:
\[x(t)=a \cosh (t)+x_{0}\]
\[y(t)=b \operatorname{senh}(t)+y_{0}\]
\[t \in \mathbb{R}\]
Pero presten atención porque les pueden agarrar de tonto: el orden de \(x\) e \(y\) puede cambiarse en la ecuación general de la hipérbole. De esta forma:
\[\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{a^{2}}-\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{b^{2}}=1\]
En ese caso,
\[x(t)=b \operatorname{senh}(t)+x_{0}\]
\[y(t)=a \cosh (t)+y_{0}\]
\[t \in \mathbb{R}\]
El truco es pensar que lo que viene antes del signo menos permanece con el \(\cosh\) y lo que viene después que el signo menos permanece con el \(\operatorname{senh}\).
También tengan en cuenta que es diferente de cuando usamos \(\cos (t)\) y \(\operatorname{sen}(t)\) normales, aquí el \(t\) varía de \(-\infty\) a \(+\infty\)! ¡Ya no de 0 hasta 2\(\pi\)!
¿Fácil? Aquí tendremos casos que necesitaremos para completar cuadrados también.
Ejemplo:
Parametrice la hipérbole H: \(x^{2}-4 y^{2}+2 x-8 y=7\).
Completando cuadrados, tendremos:
\[x^{2}-4 y^{2}+2 x-8 y=7\]
\[(x+1)^{2}-4(y+1)^{2}=7+1-4=4\]
\[\frac{(x+1)^{2}}{4}-(y+1)^{2}=1\]
La parametrización es, por tanto:
\[x(t)=\pm 2 \cosh (t)-1\]
\[y(t)=1 \operatorname{senh}(t)-1\]
\[t \in \mathbb{R}\]
Sabemos que es mucha información, pero hagan los ejercicios por partes y les aseguramos que lo van a entender muy bien ¿Vamos a los ejercicios ahora?
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