Parametrizaciones con Geometría

Herramientas

Lo que nos interesa aquí es parametrizar curvas cuya parametrización no conocemos a primera vista. Para hacer esto, algunas herramientas son útiles, como la parametrización de la circunferencia, de la recta, de la elipse, etc.

Pero antes, vamos a recordarles algunos conceptos de la geometría analítica:

     \(\bullet\) Punto medio: el punto medio de un segmento \(\overrightarrow{A B}\) es el que divide el segmento en dos partes iguales. Sus coordenadas son:

\[P_{M}=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2}, \frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)\]

     \(\bullet\) Ecuación de la recta: Sea \(r\) una línea no vertical, con coeficiente angular \(m\), que pasa por los puntos \(A\left(x_{A}, y_{A}\right)\) y \(P(x, y)\).

El coeficiente angular de esta línea está dado por:

\[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y-y_{A}}{x-x_{A}}\]

Así, la ecuación de la recta es:

\[y-y_{A}=m\left(x-x_{A}\right)\]

\[y=m\left(x-x_{A}\right)+y_{A}\]

     \(\bullet\) Intersección entre figuras: cuando dos curvas se intersectan en un punto, dicho punto pertenece a ambas figuras, por lo que debe satisfacer las ecuaciones de ambas.

Por ejemplo, si queremos saber en qué puntos se intersectan la circunferencia \((x+1)^{2}+y^{2}=25\) y la línea \(x+y-6=0\):

Tenemos

\[x+y-6=0\]

 \[y=6-x\]

Reemplazando en la ecuación de la circunferencia, tenemos:

\[(x+1)^{2}+y^{2}=25\]

\[(x+1)^{2}+(6-x)^{2}=25\]

\[2 x^{2}-10 x+12=0\]

Resolviendo esta ecuación de segundo grado, encontramos que:

\[x=2\]

\[x=3\]

Así, como \(y=6-x\):

Para \(x=2\):

\[y=6-2=4\]

Para \(x=3\):

\[y=6-3=3\]

Por lo tanto, los puntos en los cuales las figuras se intersectan son \((2,4)\) y \((3,3)\). ¿Fácil?

¡Eso es todo amigos, no olviden practicar para reforzar los conocimientos!