Plano Normal a una Curva

Comencemos nuevamente con otro ejercicio:

Encuentre el plano normal de la curva \(\sigma(t)=\left(t^{2}+1,2+\ln (t+1), e^{t}\right)\) en el punto \((1,2,1)\).

Veamos paso a paso cómo resolver esto.

    \(1.\) Encontrar \(t_{0}\) correspondiente al punto \(\sigma\left(t_{0}\right)=(1,2,1)\)

\[\sigma\left(t_{0}\right)=(1,2,1)\]

\[\Rightarrow\left(t_{0}^{2}+1,2+\ln \left(t_{0}+1\right), e^{t_{0}}\right)=(1,2,1)\]

Comparando la tercera componente, tenemos que la exponencial solo será \(1\) si su argumento es \(0\). Por tanto,

\[t_{0}=0\]

     \(2.\) Calcular \(\sigma^{\prime}(t)\):

\[\sigma^{\prime}(t)=\left(2 t, \frac{1}{t+1}, e^{t}\right)\]

     \(3.\) Calcular \(\sigma^{\prime}\left(t_{0}\right)\):

\[t_{0}=0\]

\[\sigma^{\prime}(0)=(0,1,1)\]

     \(4.\) Tenemos un punto \(P_{0}=(1,2,1)\), que pertenece al plano, y tenemos el vector tangente a la curva en este punto: \(\sigma^{\prime}(0)=(0,1,1)\). Recuerden que este vector tangente a la curva es ortogonal al plano normal de la curva en ese punto.

Entonces, la ecuación del plano normal será:

\[\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0}, \boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}_{0}, \boldsymbol{z}-\boldsymbol{z}_{0}\right) \cdot \boldsymbol{\sigma}^{\prime}\left(\boldsymbol{t}_{0}\right)=0\]

\[(x-1, y-2, z-1) \cdot(0,1,1)=0\]

\[\Rightarrow 0(x-1)+1(y-2)+1(z-1)=0\]

\[\Rightarrow y+z=3\]

Este es el plano normal de la curva en el punto \((1,2,1)\).

Los pasos a seguir son:

Encontrar \(t_{0}\) correspondiente al punto dado en el enunciado o viceversa.

     \(1.\) Calcular \(\sigma^{\prime}(t)\)

     \(2.\) Calcular \(\sigma^{\prime}\left(t_{0}\right)\)

     \(3.\) Sustituir en la ecuación del plano normal la curva \(\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0}, \boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}_{0}, \boldsymbol{z}-\boldsymbol{z}_{0}\right) \cdot \boldsymbol{\sigma}^{\prime}\left(\boldsymbol{t}_{0}\right)=0\) 

¡Vamos a practicar!