Cilindros

En esta ocasión hablaremos sobre cilindros. Comenzando por entender lo que es un cilindro. Considere la siguiente ecuación:

\[x^{2}+y^{2}=1, \operatorname {con}  z \operatorname {\space sin \space restricciones}\]

Miren su gráfico:

Lo primero que hay que entender es que estamos hablando de un cuerpo, por lo que estamos trabajando con tres dimensiones. Esto indica que si una variable no está en la ecuación, el cilindro se desarrolla de manera infinita en esa dirección.

Podemos definir un cilindro como una superficie donde una de sus variables es libre o no restringida (es decir, tenemos una variable que no está restringida por ninguna ecuación).

En el cilindro anterior, la variable \(z\) no está restringida.

Muchas veces, el enunciado del problema no dice que \(z\) (por ejemplo) no está restringido. Para identificar que \(z\) es una variable no restringida, basta saber que si no tiene ningún tipo de ecuación que involucra a \(z\), entonces no está restringida. Sencillo, ¿no?

Algunos conceptos importantes para que no se sorprenda en el momento de la prueba:

     \(\bullet\) La curva \(x^{2}+y^{2}=1\) se denomina directriz del cilindro. La curva directriz del cilindro puede ser cualquier curva o función que involucre dos variables. Tiene este nombre porque es ella quien define la apariencia que tendrá el cilindro.

Sabemos que \(x^{2}+y^{2}=1\) es la circunferencia del radio 1. Si cortamos el cilindro en secciones ortogonales al eje \(z\), todas ellas también serán circunferencias de radio 1.

      \(\bullet\) El eje del cilindro será el eje que contiene la variable no restringida.

Nota: Cuando hablamos de cilindro, en realidad estamos hablando de superficie cilíndrica, es decir, la envoltura cilíndrica. Está bien, pero ¿qué significa eso exactamente? Miren nuevamente el gráfico del cilindro que usamos como ejemplo inicial. Tengan en cuenta que el cilindro no comprende el interior de la superficie. Es decir, no es macizo, es hueco. Las intersecciones con los planos ortogonales al eje \(z\) son circunferencias y no círculos. ¿Está claro ahora?

Gráfico de Cilindros

Para dibujar los cilindros, solo necesitamos saber cuál es la curva directriz del cilindro y el eje del mismo.

Volvamos al ejemplo inicial:

\[x^{2}+y^{2}=1, \text { con } z \text{ restringido }\]

Como ya hemos visto, la curva de referencia es \(x^{2}+y^{2}=1\), y el eje del cilindro es el eje \(z\).

Veamos ahora el paso a paso para hacer el dibujo

     \(\bullet\) Paso 1: Dibujar la curva directriz.

Comenzamos dibujando la curva directriz en el plano \(x y\)

Ella es una circunferencia con centro \((0,0,0)\) y radio 1. Tenemos:

El cilindro está formado por líneas paralelas al eje del cilindro (eje z) que pasa a través de la curva directriz (círculo con el centro \((0,0)\) y el radio 1). Las líneas rectas paralelas al eje del cilindro que pasan a través de la curva directriz se llaman generatriz del cilindro.

     \(\bullet\) Paso 2: Diseñar la curva directriz representando los valores positivos y negativos. 

En la prueba, después de dibujar la curva directriz en el plano \(x y\), dibujarán la misma curva dos veces más: una un poco más arriba, tomando valores positivos para \(z\) y otro ligeramente más abajo, tomando los valores negativos de \(z\).

     \(\bullet\) Paso 3: Diseñar las generatrices. 

Después van a diseñar las generatrices del cilindro en las puntas de la figura. Quedando así:

     \(\bullet\) Paso 4: completar la figura. 

¡Ahora, solo falta completar la superficie! ¡Listo, este es nuestro cilindro!

Resumiendo el paso a paso para el dibujo de un cilindro:

     \(\bullet\) Paso 1: Dibujar la curva directriz 

     \(\bullet\) Paso 2: Diseñar la curva directriz representando los valores positivos y negativos.

     \(\bullet\) Paso 3: Diseñar las generatrices 

     \(\bullet\) Paso 4: Completar la figura. 

Nota: No todos los cilindros son superficies cerradas. Al mismo tiempo, les pueden dar restricciones como que el cilindro se mueve en los lados positivos de \(z\), por lo que deberán dibujar desde \(z=0\) para arriba.

Considere el cilindro de la ecuación:

\[y=x^{2}\]

Su gráfico es:

Como habrán notado, los cilindros pueden ser abiertos! Además, la directriz no siempre es un círculo, en este caso fue una parábola. Solo para cerrar este tema, les mostraremos otros cilindros.

¡Vamos para los ejercicios!