Recta Tangente y Normal a una Curva
Ecuación de la recta tangente
Empecemos este tema con un ejercicio:
Encontrar la línea tangente de la curva \(\sigma(t)=\left(t^{2}+1,2+\ln (t+1), e^{t}\right)\) en el punto \((1,2,1)\).
Para resolver este problema, hagamos el siguiente paso a paso:
\(1.\) Encontrar \(t_{0}\) correspondiente al punto \(\sigma\left(t_{0}\right)=(1,2,1)\):
\[\Rightarrow\left(t_{0}^{2}+1,2+\ln \left(t_{0}+1\right), e^{t_{0}}\right)=(1,2,1)\]
Comparando el tercer componente:
\[t_{0}=0\]
\(2.\) Calcular \(\sigma^{\prime}(t)\) :
\[\sigma^{\prime}(t)=\left(2 t, \frac{1}{t+1}, e^{t}\right)\]
\(3.\) Calcular\(\sigma^{\prime}\left(t_{0}\right)\) :
\[t_{0}=0\]
\[\sigma^{\prime}(0)=(0,1,1)\]
\(4.\) Tenemos un vector tangente a la curva \(\sigma^{\prime}(0)=(0,1,1)\) y el punto tangente \(\sigma(0)=(1,2,1)\).
Así que simplemente se debe armar la ecuación de la línea tangente:
\[\boldsymbol{r}(\boldsymbol{t})=\boldsymbol{\sigma}\left(\boldsymbol{t}_{0}\right)+\boldsymbol{\sigma}^{\prime}\left(\boldsymbol{t}_{0}\right) \cdot \boldsymbol{t}\]
\[r(t)=\sigma(0)+\sigma^{\prime}(0) \cdot t\]
\[\Rightarrow r(t)=(1,2,1)+(0,1,1) \cdot t\]
\[\Rightarrow r(t)=(1,2+t, 1+t)\]
Por lo general, los pasos a seguir son:
\(1.\) Encontrar \(t_{0}\) correspondiente al punto \(\sigma\left(t_{0}\right)\) o viceversa
\(2.\) Calcular \(\sigma^{\prime}(t)\)
\(3.\) Calcular \(\sigma^{\prime}\left(t_{0}\right)\)
\(4.\) Sustituir en \(r(t)=\sigma\left(t_{0}\right)+\sigma^{\prime}\left(t_{0}\right) \cdot t\), que es la ecuación de la recta tangente.
Ecuación de la recta normal
Así como podemos encontrar la recta tangente a una curva \(\sigma(t)=(x(t), y(t), z(t))\), también podemos encontrarle la recta normal.
Bien, pero ¿cómo? Así como encontramos la línea tangente. Incluso paso a paso, solo que ahora, ¡usamos el vector normal! Esa es la única diferencia, ¡así que seguramente les será fácil este tema!
¡Genial! Entonces sabemos que la ecuación paramétrica de la recta está dada por:
\[r(t)=P_{0}+\vec{n} t\]
Donde \(P_{0}\) es un punto de la línea y \(\vec{n}\) es un vector en la dirección de la recta.
Cuando queremos encontrar la recta normal de una curva, sabemos que el punto \(\sigma\left(t_{0}\right)\) pertenece a la línea y que el vector \(\sigma^{\prime} \prime\left(t_{0}\right)\) está en la dirección de la línea normal.
¡Oh! Entonces la línea normal de la curva \(\sigma(t)=(x(t), y(t), z(t))\) en \(t_{0}\) viene dada por:
\(\left.\boldsymbol{r}(\boldsymbol{t})=\boldsymbol{\sigma}\left(\boldsymbol{t}_{0}\right)+\boldsymbol{\sigma}^{\boldsymbol{\jmath}} \boldsymbol{(} \boldsymbol{t}_{0}\right) \cdot \boldsymbol{t}\)
¡Así de simple!
Veamos el paso a paso para que sea aún más sencillo:
\(5.\) Encontrar \(t_{0}\) correspondiente al punto \(\sigma\left(t_{0}\right)\) o viceversa
\(6.\) Calcular \(\sigma^{\prime}(t)\)
\(7.\) Calcular \(\sigma^{\prime \prime}(t)\)
\(8.\) Calcular \(\sigma^{\prime \prime}\left(t_{0}\right)\)
\(9.\) Sustituir en \(r(t)=\sigma\left(t_{0}\right)+\sigma^{\prime \prime}\left(t_{0}\right) \cdot t\)
Ejemplo:
Encuentra la línea normal de la curva \(\sigma(t)=\left(t^{2}+1,2+\ln (t+1), e^{t}\right)\) en el punto \((1,2,1)\).
\(10.\) Encuentra \(t_{0}\) correspondiente al punto \(\sigma\left(t_{0}\right)=(1,2,1)\)
\[\sigma\left(t_{0}\right)=(1,2,1)\]
\[\Rightarrow\left(t_{0}^{2}+1,2+\ln \left(t_{0}+1\right), e^{t_{0}}\right)=(1,2,1)\]
Comparando las tres coordenadas:
\[t_{0}=0\]
\(11.\) Calcular \(\sigma^{\prime}(t)\)
\[\sigma^{\prime}(t)=\left(2 t, \frac{1}{t+1}, e^{t}\right)\]
\(12.\) Calcular \(\sigma^{\prime \prime}(t)\)
\[\sigma^{\prime \prime}(t)=\left(2,-\frac{1}{(t+1)^{2}}, e^{t}\right)\]
\(13.\) Calcular \(\sigma^{\prime \prime}\left(t_{0}\right)\)
\[t_{0}=0\]
\[\sigma^{\prime \prime} (0)=(2,-1,1)\]
\(14.\) Sustituir:
\[r(t)=\sigma(0)+\sigma^{\prime \prime}(0) \cdot t\]
\[\Rightarrow r(t)=(1,2,1)+(2,-1,1) \cdot t\]
\[\Rightarrow r(t)=(1+2 t, 2-t, 1+t)\]
¿Fácil?
A continuación dos consejos importantísimos:
\(\bullet\) ¡Cualquier vector se puede obtener por la diferencia entre dos puntos! Entonces, si sabemos que nuestro vector normal \(\sigma^{\prime \prime}\left(t_{0}\right)=\overrightarrow{v_{n}}\) pasa a través de un punto \(P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)\), para encontrar el vector normal solo se necesita restar ese punto de otro punto genérico \((x, y)\).
\[\vec{v}_{n}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}\right)\]
\(\bullet\) Para averiguar quién es este punto genérico, debemos recordar que el vector normal es perpendicular al vector tangente y que el producto escalar entre dos vectores perpendiculares es nulo.
Por lo tanto, conociendo el vector tangente \(\sigma^{\prime}\left(t_{0}\right)=\vec{v}_{t}\) de la curva en \(P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)\), calculamos el producto escalar entre él y \(\vec{v}_{n}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}\right)\) y encontramos el punto \((x, y)\).
\[\vec{v}_{t} \cdot \vec{v}_{n}=0\]
Después solo deben sustituir en
\[r(t)=\sigma\left(t_{0}\right)+\vec{v}_{n}\left(t_{0}\right) \cdot t\]
Por ejemplo:
Sea
\[\vec{v}_{t}=(-2,1)\]
El vector tangente en el punto \((-4,6)\) de una curva.
El vector normal de la curva en dicho punto será:
\[\vec{v}_{n}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}\right)\]
\[\vec{v}_{n}=(x+4, y-6)\]
Tal que
\[\vec{v}_{t} \cdot \vec{v}_{n}=0\]
\[(-2,1) \cdot (x+4, y-6)=0\]
\[-2 x-8+y-6=0\]
\[y=2 x+14\]
Ahora podemos elegir cualquier valor de \(x\) y \(y\) que satisfagan la ecuación.
Vamos a elegir \(x=0\) y \(y=14\).
Así que el vector normal será:
\[\vec{v}_{n}=(0+4,14-6)=(4,8)\]
Ahora sólo hay que sustituir en
\[r(t)=\sigma\left(t_{0}\right)+\vec{v}_{n}\left(t_{0}\right) \cdot t\]
\[r(t)=(-4,6)+(4,8) \cdot t\]
Fácil, ¿no? ¡Entonces, vamos a los ejercicios!
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