Vector Normal

¿Qué es?

El vector normal es un vector que es perpendicular al movimiento, es decir, es perpendicular al vector que es tangente al movimiento.

Hay varios vectores normales en la trayectoria de una partícula, pero estudiaremos aquí solo el que apunta al centro de curvatura de la trayectoria.

¿Centro de curvatura? ¿Qué?

Tranquilos, es solo un nombre para "donde la curva está girando".

Estos vectores rojos son vectores tangentes a la curva y los vectores azules son los vectores normales que apuntan al centro de curvatura. ¿Entendieron?

¿Cómo lo calculamos?

Bien, ahora, ¿cómo encontramos al vector normal?

¡Es fácil! Derivamos el vector tangente unitario y lo dividimos por su módulo. Entonces:

\[\vec{N}=\frac{\vec{T}^{\prime}(t)}{\left\|\vec{T}^{\prime}(t)\right\|}\]

Oigan, pero ¿por qué dividir por el módulo?

Solo para que el vector normal sea unitario también. Se llama vector normal principal a la curva.

Ahora veremos un ejemplo para ver lo fácil que es:

Encuentren el vector normal a la curva parametrizada por

\[\sigma(t)=(\cos 2 t, \operatorname{sen} 2 t)\]

Lo primero que tenemos que hacer es encontrar el vector tangente unitario:

\[\overrightarrow{v_{t g}}=\sigma^{\prime}(t)=(-2 \operatorname{sen} 2 t, 2 \cos 2 t)\]

\[\|\overrightarrow{v_{t g}}\|=\sqrt{(-2 \operatorname{sen} 2 t)^{2}+(2 \cos 2 t)^{2}}=\sqrt{4\left(\operatorname{sen}^{2} 2 t+\cos ^{2} 2 t\right)}=\sqrt{4}=2\]

\[\vec{T}\bigg(t\bigg)=\frac{\overrightarrow{v_{t g}}}{\|\overrightarrow{v_{t g}}\|}=\frac{(-2 \operatorname{sen} 2 t, 2 \cos 2 t)}{2}=(-\operatorname{sen} 2 t, \cos 2 t)\]

Ahora necesitamos derivar este vector y luego dividirlo por su módulo:

\[\vec{T}^{\prime}(t)=(-2 \cos 2 t,-2 \operatorname{sen} 2 t)\]

\[\left\|\vec{T}^{\prime}(t)\right\|=\sqrt{(-2 \cos 2 t)^{2}+(-2 \operatorname{sen} 2 t)^{2}}=\sqrt{4\left(\cos ^{2} 2 t+\operatorname{sen}^{2} 2 t\right)}=\sqrt{4}=2\]

¡Genial! Y por último, tenemos que:

\(\vec{N}=\frac{\vec{T}^{\prime}(t)}{\left\|\vec{T}^{\prime}(t)\right\|}\)

\[\vec{N}=\frac{(-2 \cos 2 t,-2 \operatorname{sen} 2 t)}{2}=(-\cos 2 t,-\operatorname{sen} 2 t)\]