Colisión de Partículas e Intersección de Curvas

Imagina que dos partículas, parametrizadas por dos funciones diferentes, describen trayectorias distintas:

\[\sigma_{1}(t)=(t, t-1)\]

Y

\[\sigma_{2}(t)=(t, 3-t)\]

Nos interesan dos preguntas:

    \(1.\) ¿Las trayectorias de las partículas se cruzan?

    \(2.\) ¿Las partículas colisionan?

Respondiendo las preguntas:

    \(2.\) Las trayectorias se cruzarán si hay al menos un punto en común en ambas curvas, no necesariamente al mismo tiempo \(t\) (es decir, nos interesa saber si las trayectorias se cruzan, no si las partículas colisionan en dicho punto)

\[\sigma_{1}\left(t_{1}\right)=\sigma_{2}\left(t_{2}\right)\]

\[\left(t_{1}, t_{1}-1\right)=\left(t_{2}, 3-t_{2}\right)\]

\[\left\{\begin{array}{c}{t_{1}=t_{2}} \\ {t_{1}-1=3-t_{2}}\end{array}\right.\]

De la primera ecuación tenemos

\[t_{1}=t_{2}\]

Reemplazando en la segunda

\[t_{1}-1=3-t_{1}\]

\[t_{1}=2\]

Y, como \(t_{1}=t_{2}\)

\[t_{2}=2\]

Por lo tanto, en el tiempo \(t_{1}=2\) para la primera trayectoria y en el tiempo correspondiente \(t_{2}=2\) para la segunda trayectoria, las partículas se cruzan. 

Para obtener los puntos de cruce, solo calculen \(\sigma_{1}\left(t_{1}\right)\) O \(\sigma_{2}\left(t_{2}\right)\), porque corresponden al mismo punto, ¿no?

Al elegir \(\sigma_{1}\left(t_{1}\right)\), el punto donde se cruzan las trayectorias es:

\[P=\sigma_{1}(2)=(2,2-1)=(2,1)\]

    \(2.\) Las partículas colisionarán si hay un punto en común en ambas trayectorias, necesariamente al mismo tiempo \(t\)

\[\sigma_{1}(t)=\sigma_{2}(t)\]

Esto corresponde al sistema anterior, con \(t_{1}=t_{2}=t\).

Ya resolvimos este sistema y vimos que \(t_{1}=t_{2}\), por lo tanto, las partículas colisionan.

¿Tiene sentido? En el primer caso, puede ser que una partícula pase por un punto donde la otra haya pasado antes o pasará después. En el segundo caso, las partículas pasan por el mismo punto al mismo tiempo y, por tanto, colisionan.