Vector Tangente – Paralelismo y Ortogonalidad

En esta ocasión veremos cómo hallar un vector paralelo o perpendicular a otro vector y a un plano.

Les aseguramos que este tema también es sencillo, así que ¡hagamos el esfuerzo! Comencemos:

¿Qué significa decir que un vector es paralelo a otro? Solo significa que un vector es múltiplo del otro vector.

¿Y qué significa decir que un vector es perpendicular a otro? Significa que el producto escalar entre ellos es nulo.

¡Así de simple!

Por lo tanto, cualquier vector \(\vec{v}\) y el vector tangente \(\sigma^{\prime}(t)\) a una curva parametrizada, por ejemplo, son paralelos sí:

\[\sigma^{\prime}(t)=\lambda \vec{v}\]

Y son perpendiculares si:

\[\vec{v} \cdot \sigma^{\prime}(t)=0\]

¿Entendieron?

Veamos un ejemplo para aclarar las dudas:

Determinar el instante en que la recta es tangente a la curva

\[\sigma(t)=\left(t^{2}, t^{3}, t^{4}\right), \space t \in \mathbb{R}\]

Es paralela al plano \(x y\).

¿Plano? ¿Qué está pasando acá? ¿No estábamos hablando sólo de vectores?

Bueno, ¡pero esto es exactamente sobre vectores! Cualquier cosa que sea paralela al plano \(x y\) seguramente será perpendicular a cualquier cosa que sea perpendicular al plano en sí. ¡Así que podemos decir que esta recta es perpendicular al eje \(z\)!

Es decir, el producto escalar entre el vector tangente \(\sigma^{\prime}(t)\) y el vector maestro del eje \(z, \vec{v}=(0,0,1)\), debe ser cero!

Pero, ¿por qué no hacemos que el vector tangente sea un múltiplo de un vector paralelo al plano?

Bueno, porque cuando estamos hablando del plano, lo que podemos hacer fácilmente es un vector normal para ese plano. Por eso utilizamos la ortogonalidad entre vectores. ¿Se entendió?

Continuando:

\[\sigma^{\prime}(t)=\left(2 t, 3 t^{2}, 4 t^{3}\right)\]

\[\vec{v} \cdot \sigma^{\prime}(t)=0\]

\[(0,0,1) \cdot\left(2 t, 3 t^{2}, 4 t^{3}\right)=0\]

\[4 t^{3}=0\]

\[t=0\]

Entonces, en el momento \(t=0\), la recta tangente de la curva es paralela al plano \(x^{2} y\).

Solo recuerda que: el orden del producto escalar no importa. Tu puedes hacer lo siguiente:

\[\vec{v} \cdot \sigma^{\prime}(t)=0\]

O

\[\sigma^{\prime}(t) \cdot \vec{v}=0\]

Qué alegría, ¿no? ¡Vamos a los ejercicios!