Ecuación del Plano
Planos
¡Hola gente! A continuación veremos todo lo que se necesita saber acerca de los planos, ¿podemos comenzar? ¡Entonces vamos!
Para que un plano esté bien definido en el espacio solo necesitamos dos datos:
\(\bullet\) Un punto en el plano: \(P_{0}\)
\(\bullet\) Y un vector normal al plano: \(\vec{n}\)
¿Sólo eso? ¡Si! Todo lo que vamos a desarrollar a partir de ahora se basa en estos dos elementos. ¡Entonces, miren en el gráfico los elementos \(P_{0}\) y \(\vec{n}\)!
Ecuación del Plano
Imaginen la siguiente situación: un vector normal al plano \(\vec{n}=(1,2,3)\), un punto \(P_{0}=(1,1,1)\)) y un punto cualquiera en el plano \(P=(x, y, z)\). Observen mejor en la siguiente figura:
El vector\(\overrightarrow{P_{0} P}\) está contenido en el plano y tiene componentes \(\overrightarrow{P_{0} P}=(x-1, y-1, z-1)\).
El vector \(\vec{n}\) es normal al plano y, por lo tanto, ortogonal a cualquier vector contenido en el plano. Por lo tanto, el vector \(\vec{n}\) es ortogonal al vector \(\overrightarrow{P_{0} P}\).
Sabemos que el producto escalar entre dos vectores ortogonales es cero. Entonces, el producto escalar entre el vector \(\vec{n}\) y el vector \(\overrightarrow{P_{0} P}\) es cero.
El producto escalar se ve así:
\[\vec{n} \cdot \overrightarrow{P_{0} P}=0\]
\[\vec{n} . \cdot(x-1, y-1, z-1)=0\]
\[(1,2,3) \cdot(x-1, y-1, z-1)=0\]
\[1(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0\]
Por lo tanto, de modo general, si \(\vec{n}=(a, b, c), P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\) y \(P=(x, y, z)\), la ecuación del plano será:
\[a\left(x-x_{0}\right)+b\left(y-y_{0}\right)+c\left(z-z_{0}\right)=0\]
¡¿Vieron?! No es tan difícil, pero veamos un ejemplo para que lo entiendan bien.
Ejemplo:
Encuentren la ecuación del plano que contiene el punto \(P_{0}=(1,1,1)\), sabiendo que \(\vec{n}=(1,2,3)\) es un vector normal al plano.
Solo es necesario usar la fórmula de la ecuación del plano que acabamos de encontrar:
\[a\left(x-x_{0}\right)+b\left(y-y_{0}\right)+c\left(z-z_{0}\right)=0\]
\[1(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0\]
Que es lo mismo que:
\[x+2 y+3 z=6\]
Gráfico de Planos
Ya sabemos cómo encontrar la ecuación del plano. ¡Genial! Pero, ¿y si piden el gráfico del plano? Veamos ahora el paso a paso de cómo hacer esto.
Consideren el plano \(x+y+z=1\)
\(\bullet\) Paso 1: Trazos
Vamos a comenzar haciendo los trazos del plano. ¿Trazos? ¿Qué es esto? Tranquilos, aquí les explicamos: Los trazos de un plano (o cualquier otra superficie) son las curvas de intersección entre el plano (o superficie) y los planos de coordenadas\(x y, y z\) y \(x z\). ¿Entienden?
Entonces vamos a hacerlo. Comenzaremos encontrando el trazo del plano \(x+y+z=1\) en el plano \(x y\).
Cuando estamos en cualquier punto del plano \(x y\), ¿cuál es el valor de \(z\)? Así es, \(z=0\). Reemplazando en la ecuación del plano tendremos la recta:
\[x=1-y\]
Esta recta intersecta el eje \(x\) en el punto \((1,0,0)\) y intersecta el eje \(y\) en el punto \((0,1,0)\). Por lo tanto, el trazo en el plano \(x y\) es:
Encontremos el trazo en el plano \(y z\). En el plano \(y z\), tenemos \(x=0\). Sustituyendo en la ecuación del plano tenemos la recta:
\[z=1-y\]
Esta recta corta el eje \(z\) en el punto \((0,0,1)\) e intersecta el eje \(y\) en el punto \((0,1,0)\). Entonces, el trazo en el plano \(y z\) es:
Encontrar el trazo en el plano \(x z\): En el plano \(x z\), tenemos\(y=0\). Reemplazando en la ecuación del plano tenemos la recta:
\[x=1-z\]
Esta recta corta el eje \(z\) en el punto\((0,0,1)\) y intersecta el eje \(x\) en el punto \((1,0,0)\). Entonces tenemos el trazo en el plano \(x z\):
En un esquema de gráficos a mano alzada, los diseños no siempre son muy claros. Por lo tanto, los trazos son extremadamente importantes en el momento de la prueba, porque permiten que el profesor entienda de forma clara lo que estamos haciendo.
\(\bullet\) Paso 2: Marcar los puntos de intersección del plano con los ejes de coordenadas.
El siguiente paso es marcar los 3 ejes de coordenadas de los puntos que encontramos en los trazos de arriba. Los puntos son: \((1,0,0),(0,1,0) y (0,0,1)\). Que sería así:
Estos 3 puntos van a definir nuestro plano.
\(\bullet\) Paso 3: Dibuja un paralelogramo.
Ahora, trazamos un paralelogramo pasando sobre los puntos. Observen que este es inclinado para la izquierda, debido a que el trazo en el plano \(yz\) es una recta inclinada hacia la izquierda también. Entonces el dibujo del plano queda así:
Este es el gráfico del plano \(x+y+z=1\).
O sea, el paso a paso quedó así:
\(\bullet\) Paso 1: Trazos.
\(\bullet\) Paso 2: Marcar los puntos de intersección del plano con los ejes de coordenadas.
\(\bullet\) Paso 3: Traza un paralelogramo.
Consejo: En el momento de la prueba, es importante hacer este paso a paso, porque cuando el gráfico se hace a mano alzada, el boceto puede resultar un poco confuso. Por lo tanto, es muy importante hacer los trazos y los puntos de intersección paso a paso y bien explicados.
Posición relativa entre planos
Analizar la posición relativa entre planos no es otra cosa que analizar la posición relativa entre los vectores normales y los planos. Algunos casos importantes:
\(\bullet\) Dos planos serán perpendiculares cuando los vectores normales a los planos sean perpendiculares entre sí. Esto indica:
\[\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}=0\]
\(\bullet\) Dos planos son paralelos cuando sus vectores normales también lo son. O sea:
\[\overrightarrow{n_{1}}=\overrightarrow{n_{2}} c\]
Donde \(c\) es una constante cualquiera.
\(\bullet\) Si dos planos no son paralelos, entonces se intersectan en una línea recta. El vector director de esta línea será:
\[\vec{v}=\overrightarrow{n_{1}} x \overrightarrow{n_{2}}\]
Verifica la siguiente imagen:
¡Vamos a los ejercicios!
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