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Elipsoide, Esfera e Hiperboloide

Ecuaciones

 

¡Hola, muchachos! En esta ocasión hablaremos sobre superficies cuadráticas. Las hemos dividido en dos grupos para que podamos estudiarlas con calma y explicarlas mejor.

 

El grupo que vamos a estudiar ahora tiene la siguiente forma:

 

\[\pm \frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}} \pm \frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}} \pm \frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}=1\]

 

\[a, b, c>0\]

 

¡Vamos allá!

 

Elipsoide

 

Cuando los 3 signos son positivos. La fórmula general del elipsoide centrado en \(\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\) es:

 

\[\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}+\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}=1\]

 

Si el elipsoide tiene un centro en \((0,0,0)\), la ecuación es:

 

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\]

 

El gráfico del elipsoide tiene la forma:

 

https://lh5.googleusercontent.com/aLiHD0JPebzKXMEr-Fe1dX88F1TlLq0oiSFZhWpw7UoK1mfbI-Ibtv_-zOi1d-gvjhrbmI1lFx0FdzscNwXm4RIoqBFwckB9AIKTDZM5VFXNalIP6a6lASDKM8pWsbL7Ri3QjgmP

Nota: Para el caso de \(a=b=c\) tenemos una esfera de radio \(r=a\)

 

Hiperboloide de una hoja

 

Cuando tenemos \(2\) signos positivos y \(1\) negativo. Las ecuaciones del hiperboloide de una hoja son:

 

\[\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}-\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}=1\]

 

\[\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}-\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}+\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}=1\]

 

\[-\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}+\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}=1\]

 

Sus gráficos son respectivamente:

 

https://lh5.googleusercontent.com/WSpgFUcEWvZ51n8MEZdiUqWJXZvxVSGGOOewktSaMrSCEqJGXjDffYWauPHeRFY1rTAmXeCv_Vfp50jAOKUIT9SWSku9JGU37UlVEItiL-lu1I0VSX0sbAoJ8yiSGdTX00-eXRjF

 

https://lh5.googleusercontent.com/Q4z-tf4UripAGF6AVcTCMAR0xlZN2QF3xav-ChXpdV6cBQiMB9xp6yGpDAuvQ37FTeIMmdWxKNsnGDG1cIT4NzRYp-exqS9DbkuvJ3UCZboR2q4lH1Iu_xqx2OEFGB6RAKC75kwX

 

https://lh6.googleusercontent.com/stfPQHM9hQop3CB5ZHw6KgxDGwf3q44B38McLioZ_QXyLqqiSG2VNHFDE3HHTlI2Q77k_etr8vFDIZ28ufZx3p3whTGOSNvulUz2d9o8JfjO5vOxBt6KZk_6eNix14B0TmFoM5-Y

 

Tengan en cuenta que el eje del hiperboloide de una hoja está a lo largo del eje de la variable con un signo negativo.

 

Hiperboloide de dos hojas

 

Cuando un \((1)\) signo es positivo y \(2\) signos son negativos. Las ecuaciones de los hiperboloides de dos hojas son:

 

\[\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}-\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}-\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}=1\]

 

\[-\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}-\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}+\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}=1\]

 

\[-\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}-\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}=1\]

 

Sus gráficos son respectivamente:

 

https://lh4.googleusercontent.com/GLyCm-vo5J3Fy7u4AnDzxOCxnU7E0CTt8lWAjK3__a24SZM18jCmDnLSl1UQSEa7ycG9yHVyOlycyiEsWtXKol1LIONkUgQezbJRt9zr6Bu5-GJt8vy_zm3WE7N_CB-NRXgl_SjZ

 

https://lh5.googleusercontent.com/pEhd30LdvqMlhHs69w00eR4uNzhU1ecF5BOYoRZe06RLfPAq6dNjeXPTIDWDCtZfKmnwfqKt_O072r3_hQtIrAAVil3qnFPdZytok5Ea8tUF7kjKCaaMdF_hlsnS47_pK0lqz8Ha

 

https://lh6.googleusercontent.com/0poy8esejQuVaZfMZrkVewJcP7vUlCy4oFayjoRG6hBw5wDVv7zNqgdpfbfz4fTT6Jo3v4j6hkBg70JlIv_zLDn4CKG0L0B0LPwRD5FJt1c34ChRr_35ZDOiPJv8XV7t4zfV-V3B

 

Observe que el eje del hiperboloide de dos hojas ocurre a lo largo del eje de la variable con signo positivo. Observen también la diferencia con el hiperboloide de una hoja.

 

Ejemplo:

 

Identifique la siguiente cuádrica:

 

\[\frac{x^{2}}{4}+\frac{x}{2}+y^{2}-2 y+z^{2}+\frac{1}{4}=0\]

 

¿Cuál de los siguientes gráficos se parece más a esta?

 

https://lh6.googleusercontent.com/SkKshMb6vNfgckRymlczOkDhoV9XYucFH4FX_pXa3g1XTFx0-UFDUWSUWe3iFKCKYX7fTkmJw1jowKg3QBnCrhLQ_h5jeCdnP1021Vyw2eRvTVhB0C-XUbcuTjrIclsqyxKu0mNE

https://lh4.googleusercontent.com/pVVELlBG3fEDcFyl3DhuRIuPQ8M0FdzdXKMnAycsSaBfqWdhz7hs_6NhDgY5srJa-L-2LyH8SxzZnudmISbYapyg4YsMCb9O5V1XvHYhl7mcdk2ojePutiPInM8s-OA7spRqaS-e

 

https://lh3.googleusercontent.com/Dnuv_wZ6w9rHGKLiMeDYP-RnSWzcsG5swPWuHbJYRCscSB2Pw6BzzgPNE9C3VrtnbWfZkvacojLB7tGmlg9UQp52IFZt2nj7xH3tq8ypKd_kqaWtObOPJlxE6l4dUtziSl2mvA2V

 

Resolución

 

Parece que no podemos definir cual es, pero tranquilo, créanos, esto es una cuádrica. Se lo demostraremos.

 

\[\frac{x^{2}}{4}+\frac{x}{2}+y^{2}-2 y+z^{2}+\frac{1}{4}=0\]

 

Primero, noten que todas las variables elevadas al cuadrado tienen coeficientes positivos. Esto indica posiblemente que es un elipsoide.

 

Para probar que es un elipsoide, veamos si podemos poner esta ecuación de esa forma:

 

\[\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}+\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{c^{2}}=1\]

 

Primero veamos:

 

\[\frac{x^{2}}{4}+\frac{x}{2}\]

 

Intentemos arreglarlo para que tenga la forma de un cuadrado perfecto.

 

\[\frac{x^{2}}{4}+\frac{x}{2}=\frac{x^{2}+2 x}{4}\]

 

¡Uy! El numerador nos recuerda \((x+1)^{2}=x^{2}+2 x+1\). Pero no tenemos este \(+1\) en el numerador. Podemos hacer lo siguiente:

 

\[\frac{x^{2}}{4}+\frac{x}{2}=\frac{x^{2}+2 x}{4}=\frac{x^{2}+2 x+1-1}{4}=\frac{(x+1)^{2}-1}{4}=\frac{(x+1)^{2}}{4}-\frac{1}{4}\]

 

¿Entienden? Sumé 1 y resté 1 del numerador, para que apareciera el cuadrado perfecto.

 

Nota: Tengan en cuenta que \(x^{2}+a x=\left(x+\frac{a}{2}\right)^{2}-\frac{a^{2}}{4}\), en el caso anterior: \(x^{2}+2 x=(x+1)^{2}-1\)

 

Hagamos el mismo análisis para el término:

 

\[y^{2}-2 y\]

 

Este término nos recuerda:

 

\[(y-1)^{2}=y^{2}-2 y+1\]

 

Arreglando tenemos:

 

\[y^{2}-2 y=y^{2}-2 y+1-1=(y-1)^{2}-1\]

 

Por tanto, la ecuación \((i)\) queda así:

 

\[\frac{x^{2}}{4}+\frac{x}{2}+y^{2}-2 y+z^{2}+\frac{1}{4}=0\]

 

\[\frac{(x+1)^{2}}{4}-\frac{1}{4}+(y-1)^{2}-1+z^{2}+\frac{1}{4}=0 \rightarrow \frac{(x-(-1))^{2}}{4}+(y-1)^{2}+z^{2}=1\]

 

¡Qué es exactamente la ecuación del elipsoide!

 

Obteniendo gráficos

 

Ahora que hemos visto las ecuaciones y la forma del gráfico de las superficies cuádricas, veamos por qué son así y dibujemos sus gráficos paso a paso.

 

Te mostraremos paso a paso con el siguiente ejemplo:

 

\[\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=1\]

 

Sabemos que estamos trabajando con un elipsoide y tiene más o menos esta forma:

 

https://lh3.googleusercontent.com/sReW5umVn8wqw0ovQg4M5MEeoD-90e79nuDncQxN3dyKe_hI34swSoqq6tEFf4E7udD-qPHSnohgZuLlIqS4g_F2am19KZ4zcRm-ohqLoVozgXwldMH0hACkM7yFXpzXxfXRM8hf

 

Comencemos por dibujar sus trazos, es decir, la intersección del Elipsoide con los planos coordenados.

 

Trazos:

 

     \(\bullet\) Trazo en el plano \(x y(z=0)\):

 

\[\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\]

 

Es una elipse con centro en \((0,0,0)\) y semiejes 2 y 3. El trazo es:

 

https://lh3.googleusercontent.com/-ZNkAwpR0uLhy0jq7j-V19cO1Q1wXsn0QZIxVydjyWcyt0UF_kii7NqnxV5-GfFy0uRezWDqSYPixYRa72DfAV_ciQSZnURO5ZvdvVGdcKHFAdi_8FP8KzEnty_6MLEffskVg4cm

 

     \(\bullet\) Trazo en el plano \(x z(y=0)\)

 

\[\frac{x^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{16}=1\]

 

Es una elipse con centro en \((0,0,0)\) y con semiejes 2 y 4. El trazo queda así:

 

https://lh5.googleusercontent.com/2xg0Xo-PHi7uJgZmi-yCuViShPKl1fZ0HoIMw5NPDeitFv4lplH4X9GluOdFwjm82PKN-ozaQ9O2-TyuXkesM4htajXCHpbLGoNuM0Z9yjnwCeThX2PV2kMJUCTG_UMIJ6VqXVdU

 

     \(\bullet\) Trazo en el plano \(y z(x=0)\)

 

\[\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=1\]

 

Es una elipse con centro en \((0,0,0)\) y con semiejes 3 y 4. El trazo es:

 

https://lh4.googleusercontent.com/43raqv1RSk362yPUkWMx-2JcNkuXb6GpDp6yyK5-EC2o3yCnPMf9h2NC6ak-6dWyiABuoDT8sv_PDQ56Knq7-c8gT94PXlrCuph1PWOZoyWL8lYJKn6jz0wO4yoxsTT0EpLhAAOa

 

Ahora vamos a hacer intersecciones con planos paralelos a los ejes de coordenadas.

 

Intersecciones:

 

     \(\bullet\) Plano \(z=k\)

 

\[\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1-\frac{k^{2}}{16} \rightarrow \frac{x^{2}}{4\left(1-\frac{k^{2}}{16}\right)}+\frac{y^{2}}{9\left(1-\frac{k^{2}}{16}\right)}=1\]

 

Son elipses para \(-4<k<4\)

 

Nota: Para \(k>4\) o \(k<-4\) note que \(1-\frac{k^{2}}{16}<0\), por lo que no existen \(x\) y \(y\) que satisfagan: \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1-\frac{k^{2}}{16}<0\), ya que la suma de dos números elevados al cuadrado no puede ser menor a cero. Por lo tanto, no hay intersección \(k>4\) o \(k<-4\)

 

     \(\bullet\) Plano \(y=k\)

 

\[\frac{x^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{16}=1-\frac{k^{2}}{9} \rightarrow \frac{x^{2}}{4\left(1-\frac{k^{2}}{9}\right)}+\frac{z^{2}}{16\left(1-\frac{k^{2}}{9}\right)}=1\]

 

Son elipses para \(-3<k<3\)

 

     \(\bullet\) Plano \(x=k\)

 

\[\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=1-\frac{k^{2}}{4} \rightarrow \frac{y^{2}}{9\left(1-\frac{k^{2}}{4}\right)}+\frac{z^{2}}{16\left(1-\frac{k^{2}}{4}\right)}=1\]

 

Son elipses para \(-2<k<2\)

 

Ahora en el gráfico dibujen los trazos que encontramos

 

https://lh5.googleusercontent.com/w3RL0OZN6RWvW_D1JB2UJPSmoQMpmrb8I5u2YwtepvBJzZjYrX9kVYDtijzac3gD6MdBLEu7MRV5mpfWtomZ90uMoikoTiSNfqiJBGgpDWeuZbfzsTqaBvzO-drDsslyu52zPKxd

 

Ahora es sólo completar la región delimitada por los trazos

 

https://lh5.googleusercontent.com/7ohH3F8MoMPiQtzVTZpXJOL2yh1C3GQiG7QJ3QNRJng9YhXJx3D8o-QTe5aLWnramKiBdUg1YJ19_2QD9LqoAjUto1ttXjBKEh51cQ2j7O-c4KFYWhSaoBJjXjr9LPnlJL0zOSs8

 

Ese razonamiento es lo que debes seguir para dibujar cualquier superficie. Les dimos un ejemplo para mostrarles el estilo de estos ejercicios. ¡Todo depende de ustedes! Vamos a resolver algunos ejercicios.

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